Pré-calcul Exemples

$f (x) = 4 \log_{3} (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 4 \log_{3} (x)$ comme une équation.

$y = 4 \log_{3} (x)$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 4 \log_{3} (y)$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $4 \log_{3} (y) = x$ .

$4 \log_{3} (y) = x$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $4 \log_{3} (y) = x$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $4 \log_{3} (y) = x$ par $4$ .

$\frac{4 \log_{3} (y)}{4} = \frac{x}{4}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \log_{3} (y)}{4} = \frac{x}{4}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $\log_{3} (y)$ par $1$ .

$\log_{3} (y) = \frac{x}{4}$

Étape 3.3

Réécrivez $\log_{3} (y) = \frac{x}{4}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$3^{\frac{x}{4}} = y$

Étape 3.4

Réécrivez l’équation comme $y = 3^{\frac{x}{4}}$ .

$y = 3^{\frac{x}{4}}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = 3^{\frac{x}{4}}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 3^{\frac{x}{4}}$ est l’inverse de $f (x) = 4 \log_{3} (x)$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (4 \log_{3} (x))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 \log_{3} (x)) = 3^{\frac{4 \log_{3} (x)}{4}}$

Étape 5.2.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (4 \log_{3} (x)) = 3^{\frac{4 \log_{3} (x)}{4}}$

Étape 5.2.3.2

Divisez $\log_{3} (x)$ par $1$ .

$f^{- 1} (4 \log_{3} (x)) = 3^{\log_{3} (x)}$

Étape 5.2.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f^{- 1} (4 \log_{3} (x)) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (3^{\frac{x}{4}})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (3^{\frac{x}{4}}) = 4 \log_{3} (3^{\frac{x}{4}})$

Étape 5.3.3

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $\frac{x}{4}$ de l’exposant.

$f (3^{\frac{x}{4}}) = 4 (\frac{x}{4} \cdot \log_{3} (3))$

Étape 5.3.4

La base logarithmique $3$ de $3$ est $1$ .

$f (3^{\frac{x}{4}}) = 4 (\frac{x}{4} \cdot 1)$

Étape 5.3.5

Multipliez $\frac{x}{4}$ par $1$ .

$f (3^{\frac{x}{4}}) = 4 (\frac{x}{4})$

Étape 5.3.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$f (3^{\frac{x}{4}}) = 4 (\frac{x}{4})$

Étape 5.3.6.2

Réécrivez l’expression.

$f (3^{\frac{x}{4}}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 3^{\frac{x}{4}}$ est l’inverse de $f (x) = 4 \log_{3} (x)$ .

$f^{- 1} (x) = 3^{\frac{x}{4}}$