Pré-calcul Exemples

$f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ comme une équation.

$y = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2} = x$ .

$500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2} = x$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2} = x$ par $500$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2} = x$ par $500$ .

$\frac{500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2}}{500} = \frac{x}{500}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $500$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2}}{500} = \frac{x}{500}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez ${(1 - \frac{y}{50})}^{2}$ par $1$ .

${(1 - \frac{y}{50})}^{2} = \frac{x}{500}$

Étape 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \sqrt{\frac{x}{500}}$

Étape 3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{x}{500}}$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez $\frac{x}{500}$ comme ${(\frac{1}{10})}^{2} \frac{x}{5}$ .

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Étape 3.4.1.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $x$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \sqrt{\frac{1^{2} x}{500}}$

Étape 3.4.1.2

Factorisez la puissance parfaite $10^{2}$ dans $500$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \sqrt{\frac{1^{2} x}{10^{2} \cdot 5}}$

Étape 3.4.1.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} x}{10^{2} \cdot 5}$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \sqrt{{(\frac{1}{10})}^{2} \frac{x}{5}}$

Étape 3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \sqrt{\frac{x}{5}}$

Étape 3.4.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{x}{5}}$ comme $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}}$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}}$

Étape 3.4.4

Multipliez $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Étape 3.4.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 3.4.5.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Étape 3.4.5.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Étape 3.4.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 3.4.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 3.4.5.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 3.4.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.4.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.4.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Étape 3.4.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{5}$

Étape 3.4.6

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x \cdot 5}}{5}$

Étape 3.4.7

Multipliez $\frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x \cdot 5}}{5}$ .

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Étape 3.4.7.1

Multipliez $\frac{1}{10}$ par $\frac{\sqrt{x \cdot 5}}{5}$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{\sqrt{x \cdot 5}}{10 \cdot 5}$

Étape 3.4.7.2

Multipliez $10$ par $5$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{\sqrt{x \cdot 5}}{50}$

Étape 3.4.8

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{x \cdot 5}}{50}$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{\sqrt{5 x}}{50}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$1 - \frac{y}{50} = \frac{\sqrt{5 x}}{50}$

Étape 3.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{y}{50} = \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1$

Étape 3.5.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 50$ .

$- 50 (- \frac{y}{50}) = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Étape 3.5.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.4.1.1

Simplifiez $- 50 (- \frac{y}{50})$ .

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Étape 3.5.4.1.1.1

Annulez le facteur commun de $50$ .

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Étape 3.5.4.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y}{50}$ dans le numérateur.

$- 50 \frac{- y}{50} = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Étape 3.5.4.1.1.1.2

Factorisez $50$ à partir de $- 50$ .

$50 (- 1) \frac{- y}{50} = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Étape 3.5.4.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$50 \cdot - 1 \frac{- y}{50} = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Étape 3.5.4.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- - y = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Étape 3.5.4.1.1.2

Multipliez.

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Étape 3.5.4.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Étape 3.5.4.1.1.2.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Étape 3.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.4.2.1

Simplifiez $- 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$ .

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Étape 3.5.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - 50 \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

Étape 3.5.4.2.1.2

Annulez le facteur commun de $50$ .

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Étape 3.5.4.2.1.2.1

Factorisez $50$ à partir de $- 50$ .

$y = 50 (- 1) \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

Étape 3.5.4.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = 50 \cdot - 1 \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

Étape 3.5.4.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = - \sqrt{5 x} - 50 \cdot - 1$

Étape 3.5.4.2.1.3

Multipliez $- 50$ par $- 1$ .

$y = - \sqrt{5 x} + 50$

Étape 3.5.5

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$1 - \frac{y}{50} = - \frac{\sqrt{5 x}}{50}$

Étape 3.5.6

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{y}{50} = - \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1$

Étape 3.5.7

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 50$ .

$- 50 (- \frac{y}{50}) = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Étape 3.5.8

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.5.8.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.8.1.1

Simplifiez $- 50 (- \frac{y}{50})$ .

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Étape 3.5.8.1.1.1

Annulez le facteur commun de $50$ .

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Étape 3.5.8.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y}{50}$ dans le numérateur.

$- 50 \frac{- y}{50} = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Étape 3.5.8.1.1.1.2

Factorisez $50$ à partir de $- 50$ .

$50 (- 1) \frac{- y}{50} = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Étape 3.5.8.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$50 \cdot - 1 \frac{- y}{50} = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Étape 3.5.8.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- - y = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Étape 3.5.8.1.1.2

Multipliez.

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Étape 3.5.8.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Étape 3.5.8.1.1.2.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Étape 3.5.8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.8.2.1

Simplifiez $- 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$ .

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Étape 3.5.8.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50}) - 50 \cdot - 1$

Étape 3.5.8.2.1.2

Annulez le facteur commun de $50$ .

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Étape 3.5.8.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{5 x}}{50}$ dans le numérateur.

$y = - 50 \frac{- \sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

Étape 3.5.8.2.1.2.2

Factorisez $50$ à partir de $- 50$ .

$y = 50 (- 1) \frac{- \sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

Étape 3.5.8.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$y = 50 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

Étape 3.5.8.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$y = - - \sqrt{5 x} - 50 \cdot - 1$

Étape 3.5.8.2.1.3

Multipliez.

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Étape 3.5.8.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = 1 \sqrt{5 x} - 50 \cdot - 1$

Étape 3.5.8.2.1.3.2

Multipliez $\sqrt{5 x}$ par $1$ .

$y = \sqrt{5 x} - 50 \cdot - 1$

Étape 3.5.8.2.1.3.3

Multipliez $- 50$ par $- 1$ .

$y = \sqrt{5 x} + 50$

Étape 3.5.9

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = - \sqrt{5 x} + 50$

$y = \sqrt{5 x} + 50$

$y = - \sqrt{5 x} + 50$

$y = \sqrt{5 x} + 50$

$y = - \sqrt{5 x} + 50$

$y = \sqrt{5 x} + 50$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$ est l’inverse de $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ et $f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[0, \infty)$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $- \sqrt{5 x} + 50$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{5 x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$5 x \geq 0$

Étape 5.3.2

Divisez chaque terme dans $5 x \geq 0$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x \geq 0$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} \geq \frac{0}{5}$

Étape 5.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} \geq \frac{0}{5}$

Étape 5.3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{0}{5}$

Étape 5.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.3.1

Divisez $0$ par $5$ .

$x \geq 0$

Étape 5.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[0, \infty)$

Étape 5.4

Déterminez le domaine de $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ .

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Étape 5.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 5.5

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$ se trouve sur la plage de $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$ est le domaine de $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ , $f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$ est l’inverse de $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ .

$f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$

Étape 6