Pré-calcul Exemples

$A (x) = x^{\frac{1}{3}} - 3$

Étape 1

Écrivez $A (x) = x^{\frac{1}{3}} - 3$ comme une équation.

$y = x^{\frac{1}{3}} - 3$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = y^{\frac{1}{3}} - 3$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $y^{\frac{1}{3}} - 3 = x$ .

$y^{\frac{1}{3}} - 3 = x$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{\frac{1}{3}} - x = 3$

Étape 3.2.2

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{\frac{1}{3}} = 3 + x$

Étape 3.3

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(3 + x)}^{3}$

Étape 3.4

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.1.1

Simplifiez ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.4.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.4.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(3 + x)}^{3}$

Étape 3.4.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(3 + x)}^{3}$

Étape 3.4.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {(3 + x)}^{3}$

Étape 3.4.1.1.2

Simplifiez

$y = {(3 + x)}^{3}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez ${(3 + x)}^{3}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$y = 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} x + 3 \cdot 3 x^{2} + x^{3}$

Étape 3.4.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1.2.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$y = 27 + 3 \cdot 3^{2} x + 3 \cdot 3 x^{2} + x^{3}$

Étape 3.4.2.1.2.2

Multipliez $3$ par $3^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.2.1.2.2.1

Multipliez $3$ par $3^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.2.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$y = 27 + 3^{1} \cdot 3^{2} x + 3 \cdot 3 x^{2} + x^{3}$

Étape 3.4.2.1.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = 27 + 3^{1 + 2} x + 3 \cdot 3 x^{2} + x^{3}$

Étape 3.4.2.1.2.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = 27 + 3^{3} x + 3 \cdot 3 x^{2} + x^{3}$

Étape 3.4.2.1.2.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$y = 27 + 27 x + 3 \cdot 3 x^{2} + x^{3}$

Étape 3.4.2.1.2.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$y = 27 + 27 x + 9 x^{2} + x^{3}$

Étape 3.5

Simplifiez $27 + 27 x + 9 x^{2} + x^{3}$ .

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Étape 3.5.1

Déplacez $27$ .

$y = 27 x + 9 x^{2} + x^{3} + 27$

Étape 3.5.2

Déplacez $27 x$ .

$y = 9 x^{2} + x^{3} + 27 x + 27$

Étape 3.5.3

Remettez dans l’ordre $9 x^{2}$ et $x^{3}$ .

$y = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$

Étape 4

Replace $y$ with $A^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$A^{- 1} (x) = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$

Étape 5

Vérifiez si $A^{- 1} (x) = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$ est l’inverse de $A (x) = x^{\frac{1}{3}} - 3$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $A^{- 1} (A (x)) = x$ et $A (A^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $A^{- 1} (A (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$A^{- 1} (A (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3)$ en remplaçant la valeur de $A$ par $A^{- 1}$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3} + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Utilisez le théorème du binôme.

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Étape 5.2.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 5.2.3.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Étape 5.2.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.2.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Étape 5.2.3.2.2

Simplifiez

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Étape 5.2.3.2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.3.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 3 x^{\frac{1}{3} \cdot 2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Étape 5.2.3.2.3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $2$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Étape 5.2.3.2.4

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Étape 5.2.3.2.5

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 9 + {(- 3)}^{3} + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Étape 5.2.3.2.6

Multipliez $9$ par $3$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} + {(- 3)}^{3} + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Étape 5.2.3.2.7

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Étape 5.2.3.3

Réécrivez ${(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}$ comme $(x^{\frac{1}{3}} - 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3)$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 ((x^{\frac{1}{3}} - 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3)) + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Étape 5.2.3.4

Développez $(x^{\frac{1}{3}} - 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 (x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} - 3) - 3 (x^{\frac{1}{3}} - 3)) + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Étape 5.2.3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 (x^{\frac{1}{3}} - 3)) + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Étape 5.2.3.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 \cdot - 3) + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Étape 5.2.3.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.5.1.1

Multipliez $x^{\frac{1}{3}}$ par $x^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.3.5.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 (x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 \cdot - 3) + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Étape 5.2.3.5.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 (x^{\frac{1 + 1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 \cdot - 3) + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Étape 5.2.3.5.1.1.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 \cdot - 3) + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Étape 5.2.3.5.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x^{\frac{1}{3}}$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 (x^{\frac{2}{3}} - 3 \cdot x^{\frac{1}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 \cdot - 3) + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Étape 5.2.3.5.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 (x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 9) + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Étape 5.2.3.5.2

Soustrayez $3 x^{\frac{1}{3}}$ de $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 (x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 9) + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Étape 5.2.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 x^{\frac{2}{3}} + 9 (- 6 x^{\frac{1}{3}}) + 9 \cdot 9 + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Étape 5.2.3.7

Simplifiez

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Étape 5.2.3.7.1

Multipliez $- 6$ par $9$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 54 x^{\frac{1}{3}} + 9 \cdot 9 + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Étape 5.2.3.7.2

Multipliez $9$ par $9$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 54 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Étape 5.2.3.8

Appliquez la propriété distributive.

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 54 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 27 x^{\frac{1}{3}} + 27 \cdot - 3 + 27$

Étape 5.2.3.9

Multipliez $27$ par $- 3$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 54 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 27 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 27$

Étape 5.2.4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.2.4.1

Associez les termes opposés dans $x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 54 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 27 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 27$ .

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Étape 5.2.4.1.1

Additionnez $- 9 x^{\frac{2}{3}}$ et $9 x^{\frac{2}{3}}$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 0 - 54 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 27 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 27$

Étape 5.2.4.1.2

Additionnez $x + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27$ et $0$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 - 54 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 27 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 27$

Étape 5.2.4.1.3

Soustrayez $81$ de $81$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 - 54 x^{\frac{1}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} + 0 + 27$

Étape 5.2.4.1.4

Additionnez $x + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 - 54 x^{\frac{1}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}}$ et $0$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 - 54 x^{\frac{1}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} + 27$

Étape 5.2.4.1.5

Additionnez $- 27$ et $27$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 27 x^{\frac{1}{3}} - 54 x^{\frac{1}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} + 0$

Étape 5.2.4.1.6

Additionnez $x + 27 x^{\frac{1}{3}} - 54 x^{\frac{1}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}}$ et $0$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 27 x^{\frac{1}{3}} - 54 x^{\frac{1}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.2.4.2

Soustrayez $54 x^{\frac{1}{3}}$ de $27 x^{\frac{1}{3}}$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 27 x^{\frac{1}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.2.4.3

Associez les termes opposés dans $x - 27 x^{\frac{1}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 5.2.4.3.1

Additionnez $- 27 x^{\frac{1}{3}}$ et $27 x^{\frac{1}{3}}$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 0$

Étape 5.2.4.3.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x$

Étape 5.3

Évaluez $A (A^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$A (A^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $A (x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27)$ en remplaçant la valeur de $A^{- 1}$ par $A$ .

$A (x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27) = {(x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27)}^{\frac{1}{3}} - 3$

Étape 5.4

Comme $A^{- 1} (A (x)) = x$ et $A (A^{- 1} (x)) = x$ , $A^{- 1} (x) = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$ est l’inverse de $A (x) = x^{\frac{1}{3}} - 3$ .

$A^{- 1} (x) = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$