Pré-calcul Exemples

$f (x) = {(x - 5)}^{3} + 6$

Étape 1

Écrivez $f (x) = {(x - 5)}^{3} + 6$ comme une équation.

$y = {(x - 5)}^{3} + 6$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = {(y - 5)}^{3} + 6$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme ${(y - 5)}^{3} + 6 = x$ .

${(y - 5)}^{3} + 6 = x$

Étape 3.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

${(y - 5)}^{3} = x - 6$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y - 5 = \sqrt[3]{x - 6}$

Étape 3.4

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \sqrt[3]{x - 6} + 5$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 6} + 5$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 6} + 5$ est l’inverse de $f (x) = {(x - 5)}^{3} + 6$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} ({(x - 5)}^{3} + 6)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(x - 5)}^{3} + 6) = \sqrt[3]{({(x - 5)}^{3} + 6) - 6} + 5$

Étape 5.2.3

Associez les termes opposés dans $\sqrt[3]{({(x - 5)}^{3} + 6) - 6} + 5$ .

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Étape 5.2.3.1

Soustrayez $6$ de $6$ .

$f^{- 1} ({(x - 5)}^{3} + 6) = \sqrt[3]{{(x - 5)}^{3} + 0} + 5$

Étape 5.2.3.2

Additionnez ${(x - 5)}^{3}$ et $0$ .

$f^{- 1} ({(x - 5)}^{3} + 6) = \sqrt[3]{{(x - 5)}^{3}} + 5$

Étape 5.2.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} ({(x - 5)}^{3} + 6) = x - 5 + 5$

Étape 5.2.5

Associez les termes opposés dans $x - 5 + 5$ .

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Étape 5.2.5.1

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$f^{- 1} ({(x - 5)}^{3} + 6) = x + 0$

Étape 5.2.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} ({(x - 5)}^{3} + 6) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\sqrt[3]{x - 6} + 5)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\sqrt[3]{x - 6} + 5) = {((\sqrt[3]{x - 6} + 5) - 5)}^{3} + 6$

Étape 5.3.3

Associez les termes opposés dans ${((\sqrt[3]{x - 6} + 5) - 5)}^{3} + 6$ .

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Étape 5.3.3.1

Soustrayez $5$ de $5$ .

$f (\sqrt[3]{x - 6} + 5) = {(\sqrt[3]{x - 6} + 0)}^{3} + 6$

Étape 5.3.3.2

Additionnez $\sqrt[3]{x - 6}$ et $0$ .

$f (\sqrt[3]{x - 6} + 5) = {\sqrt[3]{x - 6}}^{3} + 6$

Étape 5.3.4

Réécrivez ${\sqrt[3]{x - 6}}^{3}$ comme $x - 6$ .

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Étape 5.3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x - 6}$ comme ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\sqrt[3]{x - 6} + 5) = {({(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 6$

Étape 5.3.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{x - 6} + 5) = {(x - 6)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 6$

Étape 5.3.4.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (\sqrt[3]{x - 6} + 5) = {(x - 6)}^{\frac{3}{3}} + 6$

Étape 5.3.4.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt[3]{x - 6} + 5) = {(x - 6)}^{\frac{3}{3}} + 6$

Étape 5.3.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt[3]{x - 6} + 5) = (x - 6) + 6$

Étape 5.3.4.5

Simplifiez

$f (\sqrt[3]{x - 6} + 5) = x - 6 + 6$

Étape 5.3.5

Associez les termes opposés dans $x - 6 + 6$ .

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Étape 5.3.5.1

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$f (\sqrt[3]{x - 6} + 5) = x + 0$

Étape 5.3.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\sqrt[3]{x - 6} + 5) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 6} + 5$ est l’inverse de $f (x) = {(x - 5)}^{3} + 6$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 6} + 5$