Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{5}{2 - x}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{5}{2 - x}$ comme une équation.

$y = \frac{5}{2 - x}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{5}{2 - y}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{5}{2 - y} = x$ .

$\frac{5}{2 - y} = x$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$2 - y, 1$

Étape 3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$2 - y, 1$

Étape 3.2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$2 - y$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{5}{2 - y} = x$ par $2 - y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{5}{2 - y} = x$ par $2 - y$ .

$\frac{5}{2 - y} (2 - y) = x (2 - y)$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2 - y$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{2 - y} (2 - y) = x (2 - y)$

Étape 3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$5 = x (2 - y)$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 = x \cdot 2 + x (- y)$

Étape 3.3.3.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 3.3.3.2.1

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$5 = 2 \cdot x + x (- y)$

Étape 3.3.3.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 = 2 x - x y$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $2 x - x y = 5$ .

$2 x - x y = 5$

Étape 3.4.2

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$- x y = 5 - 2 x$

Étape 3.4.3

Divisez chaque terme dans $- x y = 5 - 2 x$ par $- x$ et simplifiez.

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Étape 3.4.3.1

Divisez chaque terme dans $- x y = 5 - 2 x$ par $- x$ .

$\frac{- x y}{- x} = \frac{5}{- x} + \frac{- 2 x}{- x}$

Étape 3.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x y}{x} = \frac{5}{- x} + \frac{- 2 x}{- x}$

Étape 3.4.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.4.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y}{x} = \frac{5}{- x} + \frac{- 2 x}{- x}$

Étape 3.4.3.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{5}{- x} + \frac{- 2 x}{- x}$

Étape 3.4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{5}{x} + \frac{- 2 x}{- x}$

Étape 3.4.3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.4.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{5}{x} + \frac{- 2 x}{- x}$

Étape 3.4.3.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{5}{x} + \frac{- 2}{- 1}$

Étape 3.4.3.3.1.2.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- 2}{- 1}$ .

$y = - \frac{5}{x} - 1 \cdot - 2$

Étape 3.4.3.3.1.3

Réécrivez $- 1 \cdot - 2$ comme $- - 2$ .

$y = - \frac{5}{x} - - 2$

Étape 3.4.3.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$y = - \frac{5}{x} + 2$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = - \frac{5}{x} + 2$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \frac{5}{x} + 2$ est l’inverse de $f (x) = \frac{5}{2 - x}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{5}{2 - x})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{2 - x}) = - \frac{5}{\frac{5}{2 - x}} + 2$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{5}{2 - x}) = - (5 (\frac{2 - x}{5})) + 2$

Étape 5.2.3.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{5}{2 - x}) = - (5 (\frac{2 - x}{5})) + 2$

Étape 5.2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{5}{2 - x}) = - (2 - x) + 2$

Étape 5.2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{5}{2 - x}) = - 1 \cdot 2 + x + 2$

Étape 5.2.3.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{2 - x}) = - 2 + x + 2$

Étape 5.2.3.5

Multipliez $- - x$ .

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Étape 5.2.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{2 - x}) = - 2 + 1 x + 2$

Étape 5.2.3.5.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{2 - x}) = - 2 + x + 2$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $- 2 + x + 2$ .

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Étape 5.2.4.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{2 - x}) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{2 - x}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (- \frac{5}{x} + 2)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- \frac{5}{x} + 2) = \frac{5}{2 - (- \frac{5}{x} + 2)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{5}{x} + 2) = \frac{5}{2 + \frac{5}{x} - 1 \cdot 2}$

Étape 5.3.3.2

Multipliez $- - \frac{5}{x}$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{5}{x} + 2) = \frac{5}{2 + 1 (\frac{5}{x}) - 1 \cdot 2}$

Étape 5.3.3.2.2

Multipliez $\frac{5}{x}$ par $1$ .

$f (- \frac{5}{x} + 2) = \frac{5}{2 + \frac{5}{x} - 1 \cdot 2}$

Étape 5.3.3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (- \frac{5}{x} + 2) = \frac{5}{2 + \frac{5}{x} - 2}$

Étape 5.3.3.4

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f (- \frac{5}{x} + 2) = \frac{5}{\frac{5}{x} + 0}$

Étape 5.3.3.5

Additionnez $\frac{5}{x}$ et $0$ .

$f (- \frac{5}{x} + 2) = \frac{5}{\frac{5}{x}}$

Étape 5.3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (- \frac{5}{x} + 2) = 5 (\frac{x}{5})$

Étape 5.3.5

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{5}{x} + 2) = 5 (\frac{x}{5})$

Étape 5.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{5}{x} + 2) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - \frac{5}{x} + 2$ est l’inverse de $f (x) = \frac{5}{2 - x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{5}{x} + 2$