Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{4 x - 2}{3 x + 1}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{4 x - 2}{3 x + 1}$ comme une équation.

$y = \frac{4 x - 2}{3 x + 1}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{4 y - 2}{3 y + 1}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{4 y - 2}{3 y + 1} = x$ .

$\frac{4 y - 2}{3 y + 1} = x$

Étape 3.2

Factorisez $2$ à partir de $4 y - 2$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 y$ .

$\frac{2 (2 y) - 2}{3 y + 1} = x$

Étape 3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (2 y) + 2 (- 1)}{3 y + 1} = x$

Étape 3.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 y) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (2 y - 1)}{3 y + 1} = x$

Étape 3.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$3 y + 1, 1$

Étape 3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$3 y + 1, 1$

Étape 3.3.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$3 y + 1$

Étape 3.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{2 (2 y - 1)}{3 y + 1} = x$ par $3 y + 1$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{2 (2 y - 1)}{3 y + 1} = x$ par $3 y + 1$ .

$\frac{2 (2 y - 1)}{3 y + 1} (3 y + 1) = x (3 y + 1)$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3 y + 1$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 y - 1)}{3 y + 1} (3 y + 1) = x (3 y + 1)$

Étape 3.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 (2 y - 1) = x (3 y + 1)$

Étape 3.4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 (2 y) + 2 \cdot - 1 = x (3 y + 1)$

Étape 3.4.2.3

Multipliez.

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Étape 3.4.2.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 y + 2 \cdot - 1 = x (3 y + 1)$

Étape 3.4.2.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 y - 2 = x (3 y + 1)$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 y - 2 = x (3 y) + x \cdot 1$

Étape 3.4.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 y - 2 = 3 x y + x \cdot 1$

Étape 3.4.3.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$4 y - 2 = 3 x y + x$

Étape 3.5

Résolvez l’équation.

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Étape 3.5.1

Soustrayez $3 x y$ des deux côtés de l’équation.

$4 y - 2 - 3 x y = x$

Étape 3.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$4 y - 3 x y = x + 2$

Étape 3.5.3

Factorisez $y$ à partir de $4 y - 3 x y$ .

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Étape 3.5.3.1

Factorisez $y$ à partir de $4 y$ .

$y \cdot 4 - 3 x y = x + 2$

Étape 3.5.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- 3 x y$ .

$y \cdot 4 + y (- 3 x) = x + 2$

Étape 3.5.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 4 + y (- 3 x)$ .

$y (4 - 3 x) = x + 2$

Étape 3.5.4

Divisez chaque terme dans $y (4 - 3 x) = x + 2$ par $4 - 3 x$ et simplifiez.

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Étape 3.5.4.1

Divisez chaque terme dans $y (4 - 3 x) = x + 2$ par $4 - 3 x$ .

$\frac{y (4 - 3 x)}{4 - 3 x} = \frac{x}{4 - 3 x} + \frac{2}{4 - 3 x}$

Étape 3.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $4 - 3 x$ .

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Étape 3.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (4 - 3 x)}{4 - 3 x} = \frac{x}{4 - 3 x} + \frac{2}{4 - 3 x}$

Étape 3.5.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x}{4 - 3 x} + \frac{2}{4 - 3 x}$

Étape 3.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x + 2}{4 - 3 x}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x + 2}{4 - 3 x}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x + 2}{4 - 3 x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{4 x - 2}{3 x + 1}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) + 2}{4 - 3 \frac{4 x - 2}{3 x + 1}}$

Étape 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3 x + 1$ .

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Étape 5.2.3.1

Multipliez $\frac{\frac{4 x - 2}{3 x + 1} + 2}{4 - 3 \frac{4 x - 2}{3 x + 1}}$ par $\frac{3 x + 1}{3 x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{3 x + 1}{3 x + 1} \cdot \frac{\frac{4 x - 2}{3 x + 1} + 2}{4 - 3 \frac{4 x - 2}{3 x + 1}}$

Étape 5.2.3.2

Associez.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{4 x - 2}{3 x + 1} + 2)}{(3 x + 1) (4 - 3 \frac{4 x - 2}{3 x + 1})}$

Étape 5.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) + (3 x + 1) \cdot 2}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{4 x - 2}{3 x + 1})}$

Étape 5.2.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x - 2$ .

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Étape 5.2.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (2 x) - 2}{3 x + 1}) + (3 x + 1) \cdot 2}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{4 x - 2}{3 x + 1})}$

Étape 5.2.5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (2 x) + 2 (- 1)}{3 x + 1}) + (3 x + 1) \cdot 2}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{4 x - 2}{3 x + 1})}$

Étape 5.2.5.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x) + 2 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1}) + (3 x + 1) \cdot 2}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{4 x - 2}{3 x + 1})}$

Étape 5.2.5.2

Factorisez $2$ à partir de $4 x - 2$ .

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Étape 5.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1}) + (3 x + 1) \cdot 2}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x) - 2}{3 x + 1})}$

Étape 5.2.5.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1}) + (3 x + 1) \cdot 2}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x) + 2 (- 1)}{3 x + 1})}$

Étape 5.2.5.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x) + 2 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1}) + (3 x + 1) \cdot 2}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Étape 5.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.6.1

Factorisez $3 x + 1$ à partir de $(3 x + 1) \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1} + (3 x + 1) \cdot 2$ .

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Étape 5.2.6.1.1

Factorisez $3 x + 1$ à partir de $(3 x + 1) \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1}) + (3 x + 1) \cdot 2}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Étape 5.2.6.1.2

Factorisez $3 x + 1$ à partir de $(3 x + 1) \cdot 2$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1}) + (3 x + 1) (2)}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Étape 5.2.6.1.3

Factorisez $3 x + 1$ à partir de $(3 x + 1) (\frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1}) + (3 x + 1) (2)$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1} + 2)}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Étape 5.2.6.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x + 1}{3 x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1} + \frac{2 (3 x + 1)}{3 x + 1})}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Étape 5.2.6.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (2 x - 1) + 2 (3 x + 1)}{3 x + 1})}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Étape 5.2.6.4

Réécrivez $\frac{2 (2 x - 1) + 2 (3 x + 1)}{3 x + 1}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.6.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x - 1) + 2 (3 x + 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (2 x - 1 + 3 x + 1)}{3 x + 1})}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Étape 5.2.6.4.2

Additionnez $2 x$ et $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (5 x - 1 + 1)}{3 x + 1})}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Étape 5.2.6.4.3

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (5 x + 0)}{3 x + 1})}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Étape 5.2.6.4.4

Additionnez $5 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 \cdot (5 x)}{3 x + 1})}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Étape 5.2.6.4.5

Multipliez $2$ par $5$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Étape 5.2.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.7.1

Factorisez $3 x + 1$ à partir de $(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})$ .

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Étape 5.2.7.1.1

Factorisez $3 x + 1$ à partir de $(3 x + 1) \cdot 4$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (4) + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Étape 5.2.7.1.2

Factorisez $3 x + 1$ à partir de $(3 x + 1) (4) + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (4 - 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Étape 5.2.7.2

Multipliez $- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1}$ .

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Étape 5.2.7.2.1

Associez $- 3$ et $\frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (4 + \frac{- 3 (2 (2 x - 1))}{3 x + 1})}$

Étape 5.2.7.2.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (4 + \frac{- 6 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Étape 5.2.7.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (4 - \frac{(6) (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Étape 5.2.7.4

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x + 1}{3 x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{4 (3 x + 1)}{3 x + 1} - \frac{6 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Étape 5.2.7.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{4 (3 x + 1) - 6 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Étape 5.2.7.6

Réécrivez $\frac{4 (3 x + 1) - 6 (2 x - 1)}{3 x + 1}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.7.6.1

Factorisez $2$ à partir de $4 (3 x + 1) - 6 (2 x - 1)$ .

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Étape 5.2.7.6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 (3 x + 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{2 (2 (3 x + 1)) - 6 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Étape 5.2.7.6.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6 (2 x - 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{2 (2 (3 x + 1)) + 2 (- 3 (2 x - 1))}{3 x + 1})}$

Étape 5.2.7.6.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 (3 x + 1)) + 2 (- 3 (2 x - 1))$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{2 (2 (3 x + 1) - 3 (2 x - 1))}{3 x + 1})}$

Étape 5.2.7.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{2 (2 (3 x) + 2 \cdot 1 - 3 (2 x - 1))}{3 x + 1})}$

Étape 5.2.7.6.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{2 (6 x + 2 \cdot 1 - 3 (2 x - 1))}{3 x + 1})}$

Étape 5.2.7.6.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{2 (6 x + 2 - 3 (2 x - 1))}{3 x + 1})}$

Étape 5.2.7.6.5

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{2 (6 x + 2 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1)}{3 x + 1})}$

Étape 5.2.7.6.6

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{2 (6 x + 2 - 6 x - 3 \cdot - 1)}{3 x + 1})}$

Étape 5.2.7.6.7

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{2 (6 x + 2 - 6 x + 3)}{3 x + 1})}$

Étape 5.2.7.6.8

Soustrayez $6 x$ de $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{2 (0 + 2 + 3)}{3 x + 1})}$

Étape 5.2.7.6.9

Additionnez $0$ et $2$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{2 (2 + 3)}{3 x + 1})}$

Étape 5.2.7.6.10

Additionnez $2$ et $3$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{2 \cdot 5}{3 x + 1})}$

Étape 5.2.7.7

Multipliez $2$ par $5$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{10}{3 x + 1})}$

Étape 5.2.8

Annulez le facteur commun de $3 x + 1$ .

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Étape 5.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{10}{3 x + 1})}$

Étape 5.2.8.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{\frac{10 x}{3 x + 1}}{\frac{10}{3 x + 1}}$

Étape 5.2.9

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{10 x}{3 x + 1} \cdot \frac{3 x + 1}{10}$

Étape 5.2.10

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 5.2.10.1

Factorisez $10$ à partir de $10 x$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{10 (x)}{3 x + 1} \cdot \frac{3 x + 1}{10}$

Étape 5.2.10.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{10 x}{3 x + 1} \cdot \frac{3 x + 1}{10}$

Étape 5.2.10.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1)$

Étape 5.2.11

Annulez le facteur commun de $3 x + 1$ .

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Étape 5.2.11.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1)$

Étape 5.2.11.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{x + 2}{4 - 3 x})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{4 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) - 2}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \frac{x + 2}{4 - 3 x} - 2$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \frac{x + 2}{4 - 3 x}$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (2 (\frac{x + 2}{4 - 3 x})) - 2}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Étape 5.3.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (2 (\frac{x + 2}{4 - 3 x})) + 2 (- 1)}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Étape 5.3.3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 \frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 2 (- 1)$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (2 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) - 1)}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Étape 5.3.3.2

Associez $2$ et $\frac{x + 2}{4 - 3 x}$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{2 (x + 2)}{4 - 3 x} - 1)}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Étape 5.3.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4 - 3 x}{4 - 3 x}$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{2 (x + 2)}{4 - 3 x} - 1 \cdot \frac{4 - 3 x}{4 - 3 x})}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Étape 5.3.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{4 - 3 x}{4 - 3 x}$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{2 (x + 2)}{4 - 3 x} + \frac{- (4 - 3 x)}{4 - 3 x})}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Étape 5.3.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{2 (x + 2) - (4 - 3 x)}{4 - 3 x})}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Étape 5.3.3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{2 (x + 2) - (4 - 3 x)}{- 3 x + 4})}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Étape 5.3.3.7

Réécrivez $\frac{2 (x + 2) - (4 - 3 x)}{- 3 x + 4}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.3.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{2 x + 2 \cdot 2 - (4 - 3 x)}{- 3 x + 4})}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Étape 5.3.3.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{2 x + 4 - (4 - 3 x)}{- 3 x + 4})}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Étape 5.3.3.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{2 x + 4 - 1 \cdot 4 - (- 3 x)}{- 3 x + 4})}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Étape 5.3.3.7.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{2 x + 4 - 4 - (- 3 x)}{- 3 x + 4})}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Étape 5.3.3.7.5

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{2 x + 4 - 4 + 3 x}{- 3 x + 4})}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Étape 5.3.3.7.6

Additionnez $2 x$ et $3 x$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{5 x + 4 - 4}{- 3 x + 4})}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Étape 5.3.3.7.7

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{5 x + 0}{- 3 x + 4})}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Étape 5.3.3.7.8

Additionnez $5 x$ et $0$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{- 3 x + 4})}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Étape 5.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.4.1

Associez $3$ et $\frac{x + 2}{4 - 3 x}$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{- 3 x + 4})}{\frac{3 (x + 2)}{4 - 3 x} + 1}$

Étape 5.3.4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{- 3 x + 4})}{\frac{3 (x + 2)}{4 - 3 x} + \frac{4 - 3 x}{4 - 3 x}}$

Étape 5.3.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{- 3 x + 4})}{\frac{3 (x + 2) + 4 - 3 x}{4 - 3 x}}$

Étape 5.3.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{- 3 x + 4})}{\frac{- 3 x + 3 (x + 2) + 4}{- 3 x + 4}}$

Étape 5.3.4.5

Réécrivez $\frac{- 3 x + 3 (x + 2) + 4}{- 3 x + 4}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.4.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{- 3 x + 4})}{\frac{- 3 x + 3 x + 3 \cdot 2 + 4}{- 3 x + 4}}$

Étape 5.3.4.5.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{- 3 x + 4})}{\frac{- 3 x + 3 x + 6 + 4}{- 3 x + 4}}$

Étape 5.3.4.5.3

Additionnez $- 3 x$ et $3 x$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{- 3 x + 4})}{\frac{0 + 6 + 4}{- 3 x + 4}}$

Étape 5.3.4.5.4

Additionnez $0$ et $6$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{- 3 x + 4})}{\frac{6 + 4}{- 3 x + 4}}$

Étape 5.3.4.5.5

Additionnez $6$ et $4$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{- 3 x + 4})}{\frac{10}{- 3 x + 4}}$

Étape 5.3.5

Associez $2$ et $\frac{5 x}{- 3 x + 4}$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{2 (5 x)}{- 3 x + 4}}{\frac{10}{- 3 x + 4}}$

Étape 5.3.6

Multipliez $2$ par $5$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{10 x}{- 3 x + 4}}{\frac{10}{- 3 x + 4}}$

Étape 5.3.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{10 x}{- 3 x + 4} \cdot \frac{- 3 x + 4}{10}$

Étape 5.3.8

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 5.3.8.1

Factorisez $10$ à partir de $10 x$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{10 (x)}{- 3 x + 4} \cdot \frac{- 3 x + 4}{10}$

Étape 5.3.8.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{10 x}{- 3 x + 4} \cdot \frac{- 3 x + 4}{10}$

Étape 5.3.8.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{x}{- 3 x + 4} \cdot (- 3 x + 4)$

Étape 5.3.9

Multipliez $\frac{x}{- 3 x + 4}$ par $- 3 x + 4$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{x (- 3 x + 4)}{- 3 x + 4}$

Étape 5.3.10

Annulez le facteur commun de $- 3 x + 4$ .

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Étape 5.3.10.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{x (- 3 x + 4)}{- 3 x + 4}$

Étape 5.3.10.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x + 2}{4 - 3 x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{4 x - 2}{3 x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x + 2}{4 - 3 x}$