Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{3}{x - 1} + 2$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{3}{x - 1} + 2$ comme une équation.

$y = \frac{3}{x - 1} + 2$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{3}{y - 1} + 2$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{3}{y - 1} + 2 = x$ .

$\frac{3}{y - 1} + 2 = x$

Étape 3.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{3}{y - 1} = x - 2$

Étape 3.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y - 1, 1, 1$

Étape 3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y - 1, 1, 1$

Étape 3.3.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y - 1$

Étape 3.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{3}{y - 1} = x - 2$ par $y - 1$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{3}{y - 1} = x - 2$ par $y - 1$ .

$\frac{3}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) - 2 (y - 1)$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $y - 1$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) - 2 (y - 1)$

Étape 3.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$3 = x (y - 1) - 2 (y - 1)$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 = x y + x \cdot - 1 - 2 (y - 1)$

Étape 3.4.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$3 = x y - 1 \cdot x - 2 (y - 1)$

Étape 3.4.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$3 = x y - x - 2 (y - 1)$

Étape 3.4.3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$3 = x y - x - 2 y - 2 \cdot - 1$

Étape 3.4.3.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$3 = x y - x - 2 y + 2$

Étape 3.5

Résolvez l’équation.

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $x y - x - 2 y + 2 = 3$ .

$x y - x - 2 y + 2 = 3$

Étape 3.5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.5.2.1

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$x y - 2 y + 2 = 3 + x$

Étape 3.5.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x y - 2 y = 3 + x - 2$

Étape 3.5.2.3

Soustrayez $2$ de $3$ .

$x y - 2 y = x + 1$

Étape 3.5.3

Factorisez $y$ à partir de $x y - 2 y$ .

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Étape 3.5.3.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$y x - 2 y = x + 1$

Étape 3.5.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y$ .

$y x + y \cdot - 2 = x + 1$

Étape 3.5.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y x + y \cdot - 2$ .

$y (x - 2) = x + 1$

Étape 3.5.4

Divisez chaque terme dans $y (x - 2) = x + 1$ par $x - 2$ et simplifiez.

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Étape 3.5.4.1

Divisez chaque terme dans $y (x - 2) = x + 1$ par $x - 2$ .

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{x}{x - 2} + \frac{1}{x - 2}$

Étape 3.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 3.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{x}{x - 2} + \frac{1}{x - 2}$

Étape 3.5.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x}{x - 2} + \frac{1}{x - 2}$

Étape 3.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x + 1}{x - 2}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{3}{x - 1} + 2$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{(\frac{3}{x - 1} + 2) + 1}{(\frac{3}{x - 1} + 2) - 2}$

Étape 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

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Étape 5.2.3.1

Multipliez $\frac{\frac{3}{x - 1} + 2 + 1}{\frac{3}{x - 1} + 2 - 2}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{3}{x - 1} + 2 + 1}{\frac{3}{x - 1} + 2 - 2}$

Étape 5.2.3.2

Associez.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{(x - 1) (\frac{3}{x - 1} + 2 + 1)}{(x - 1) (\frac{3}{x - 1} + 2 - 2)}$

Étape 5.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{(x - 1) (\frac{3}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{3}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Étape 5.2.5

Simplifiez en annulant.

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Étape 5.2.5.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 5.2.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{(x - 1) (\frac{3}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{3}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Étape 5.2.5.1.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{3}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Étape 5.2.5.2

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 5.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{3}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Étape 5.2.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot 1}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Étape 5.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.6.1

Remettez dans l’ordre $x - 1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 + 2 \cdot (x - 1) + 1 \cdot (x - 1)}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Étape 5.2.6.2

Additionnez $2 \cdot (x - 1)$ et $1 \cdot (x - 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 + 3 \cdot (x - 1)}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Étape 5.2.6.3

Factorisez $3$ à partir de $3 + 3 \cdot (x - 1)$ .

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Étape 5.2.6.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 \cdot 1 + 3 \cdot (x - 1)}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Étape 5.2.6.3.2

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot 1 + 3 \cdot (x - 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 (1 + x - 1)}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Étape 5.2.6.4

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 (x + 0)}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Étape 5.2.6.5

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Étape 5.2.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + x \cdot 2 - 1 \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Étape 5.2.7.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + 2 \cdot x - 1 \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Étape 5.2.7.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + 2 \cdot x - 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Étape 5.2.7.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + 2 x - 2 + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2}$

Étape 5.2.7.5

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + 2 x - 2 - 2 \cdot x - 1 \cdot - 2}$

Étape 5.2.7.6

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + 2 x - 2 - 2 \cdot x + 2}$

Étape 5.2.7.7

Soustrayez $2$ de $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{2 x + 1 - 2 x + 2}$

Étape 5.2.7.8

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{0 + 1 + 2}$

Étape 5.2.7.9

Additionnez $0$ et $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{1 + 2}$

Étape 5.2.7.10

Additionnez $1$ et $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3}$

Étape 5.2.8

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3}$

Étape 5.2.8.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{x + 1}{x - 2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{(\frac{x + 1}{x - 2}) - 1} + 2$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.3.1.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{x + 1}{x - 2} - 1 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}} + 2$

Étape 5.3.3.1.2

Associez $- 1$ et $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{x + 1}{x - 2} + \frac{- (x - 2)}{x - 2}} + 2$

Étape 5.3.3.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{x + 1 - (x - 2)}{x - 2}} + 2$

Étape 5.3.3.1.4

Réécrivez $\frac{x + 1 - (x - 2)}{x - 2}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.3.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{x + 1 - x + 2}{x - 2}} + 2$

Étape 5.3.3.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{x + 1 - x + 2}{x - 2}} + 2$

Étape 5.3.3.1.4.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{0 + 1 + 2}{x - 2}} + 2$

Étape 5.3.3.1.4.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{1 + 2}{x - 2}} + 2$

Étape 5.3.3.1.4.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{3}{x - 2}} + 2$

Étape 5.3.3.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = 3 (\frac{x - 2}{3}) + 2$

Étape 5.3.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = 3 (\frac{x - 2}{3}) + 2$

Étape 5.3.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = x - 2 + 2$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x - 2 + 2$ .

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Étape 5.3.4.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{3}{x - 1} + 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 2}$