Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{3 - 8 x^{3}}{2}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{3 - 8 x^{3}}{2}$ comme une équation.

$y = \frac{3 - 8 x^{3}}{2}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{3 - 8 y^{3}}{2}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{3 - 8 y^{3}}{2} = x$ .

$\frac{3 - 8 y^{3}}{2} = x$

Étape 3.2

Multipliez les deux côtés par $2$ .

$\frac{3 - 8 y^{3}}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1.1

Simplifiez $\frac{3 - 8 y^{3}}{2} \cdot 2$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 - 8 y^{3}}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

Étape 3.3.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$3 - 8 y^{3} = x \cdot 2$

Étape 3.3.1.1.2

Remettez dans l’ordre $3$ et $- 8 y^{3}$ .

$- 8 y^{3} + 3 = x \cdot 2$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.1

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$- 8 y^{3} + 3 = 2 x$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- 8 y^{3} = 2 x - 3$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $- 8 y^{3} = 2 x - 3$ par $- 8$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $- 8 y^{3} = 2 x - 3$ par $- 8$ .

$\frac{- 8 y^{3}}{- 8} = \frac{2 x}{- 8} + \frac{- 3}{- 8}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 8$ .

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Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 8 y^{3}}{- 8} = \frac{2 x}{- 8} + \frac{- 3}{- 8}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $y^{3}$ par $1$ .

$y^{3} = \frac{2 x}{- 8} + \frac{- 3}{- 8}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.3.1.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $- 8$ .

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Étape 3.4.2.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$y^{3} = \frac{2 (x)}{- 8} + \frac{- 3}{- 8}$

Étape 3.4.2.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.2.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$y^{3} = \frac{2 x}{2 \cdot - 4} + \frac{- 3}{- 8}$

Étape 3.4.2.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y^{3} = \frac{2 x}{2 \cdot - 4} + \frac{- 3}{- 8}$

Étape 3.4.2.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = \frac{x}{- 4} + \frac{- 3}{- 8}$

Étape 3.4.2.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{3} = - \frac{x}{4} + \frac{- 3}{- 8}$

Étape 3.4.2.3.1.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y^{3} = - \frac{x}{4} + \frac{3}{8}$

Étape 3.4.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{4} + \frac{3}{8}}$

Étape 3.4.4

Simplifiez $\sqrt[3]{- \frac{x}{4} + \frac{3}{8}}$ .

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Étape 3.4.4.1

Pour écrire $- \frac{x}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{8}}$

Étape 3.4.4.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.4.4.2.1

Multipliez $\frac{x}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{x \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{3}{8}}$

Étape 3.4.4.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{x \cdot 2}{8} + \frac{3}{8}}$

Étape 3.4.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt[3]{\frac{- x \cdot 2 + 3}{8}}$

Étape 3.4.4.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- 2 x + 3}{8}}$

Étape 3.4.4.5

Réécrivez $\frac{- 2 x + 3}{8}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{3} (- 2 x + 3)$ .

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Étape 3.4.4.5.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{3}$ dans $- 2 x + 3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} (- 2 x + 3)}{8}}$

Étape 3.4.4.5.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{3}$ dans $8$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} (- 2 x + 3)}{2^{3} \cdot 1}}$

Étape 3.4.4.5.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{3} (- 2 x + 3)}{2^{3} \cdot 1}$ .

$y = \sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3} (- 2 x + 3)}$

Étape 3.4.4.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{1}{2} \sqrt[3]{- 2 x + 3}$

Étape 3.4.4.7

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt[3]{- 2 x + 3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{3 - 8 x^{3}}{2}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{- 2 \frac{3 - 8 x^{3}}{2} + 3}}{2}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2 (- 1) (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) + 3}}{2}$

Étape 5.2.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2 \cdot (- 1 \frac{3 - 8 x^{3}}{2}) + 3}}{2}$

Étape 5.2.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{- 1 (3 - 8 x^{3}) + 3}}{2}$

Étape 5.2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{- 1 \cdot 3 - 1 (- 8 x^{3}) + 3}}{2}$

Étape 5.2.3.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{- 3 - 1 (- 8 x^{3}) + 3}}{2}$

Étape 5.2.3.4

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{- 3 + 8 x^{3} + 3}}{2}$

Étape 5.2.3.5

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 0}}{2}$

Étape 5.2.3.6

Additionnez $8 x^{3}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

Étape 5.2.3.7

Réécrivez $8 x^{3}$ comme ${(2 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

Étape 5.2.3.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 {(\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2})}^{3}}{2}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{- 2 x + 3}$ comme ${(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 {(\frac{{(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{2})}^{3}}{2}$

Étape 5.3.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{{(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{{({(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}}}{2}$

Étape 5.3.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 5.3.3.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{{(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}}}{2}$

Étape 5.3.3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{{(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}}}{2}$

Étape 5.3.3.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{- 2 x + 3}{2^{3}}}{2}$

Étape 5.3.3.3.2

Simplifiez

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{- 2 x + 3}{2^{3}}}{2}$

Étape 5.3.3.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{- 2 x + 3}{8}}{2}$

Étape 5.3.3.5

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 5.3.3.5.1

Factorisez $8$ à partir de $- 8$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 + 8 (- 1) (\frac{- 2 x + 3}{8})}{2}$

Étape 5.3.3.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 + 8 \cdot (- 1 \frac{- 2 x + 3}{8})}{2}$

Étape 5.3.3.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 1 (- 2 x + 3)}{2}$

Étape 5.3.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 1 (- 2 x) - 1 \cdot 3}{2}$

Étape 5.3.3.7

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 + 2 x - 1 \cdot 3}{2}$

Étape 5.3.3.8

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 + 2 x - 3}{2}$

Étape 5.3.3.9

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Étape 5.3.3.10

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.3.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{3 - 8 x^{3}}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}$