Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{2 x}{x - 6}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{2 x}{x - 6}$ comme une équation.

$y = \frac{2 x}{x - 6}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{2 y}{y - 6}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez l’équation par $y - 6$ .

$(y - 6) (x) = (\frac{2 y}{y - 6}) (y - 6)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y x - 6 x = (\frac{2 y}{y - 6}) (y - 6)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $y - 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y x - 6 x = \frac{2 y}{y - 6} (y - 6)$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y x - 6 x = 2 y$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$y x - 6 x - 2 y = 0$

Étape 3.4.2

Ajoutez $6 x$ aux deux côtés de l’équation.

$y x - 2 y = 6 x$

Étape 3.4.3

Factorisez $y$ à partir de $y x - 2 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y x$ .

$y (x) - 2 y = 6 x$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y$ .

$y (x) + y \cdot - 2 = 6 x$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y (x) + y \cdot - 2$ .

$y (x - 2) = 6 x$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $y (x - 2) = 6 x$ par $x - 2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $y (x - 2) = 6 x$ par $x - 2$ .

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{6 x}{x - 2}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{6 x}{x - 2}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{6 x}{x - 2}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x}{x - 2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{6 x}{x - 2}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{2 x}{x - 6}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{6 (\frac{2 x}{x - 6})}{(\frac{2 x}{x - 6}) - 2}$

Étape 5.2.3

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun à $6$ et $(\frac{2 x}{x - 6}) - 2$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 (\frac{2 x}{x - 6})$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{2 (3 (\frac{2 x}{x - 6}))}{(\frac{2 x}{x - 6}) - 2}$

Étape 5.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $\frac{2 x}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{2 (3 (\frac{2 x}{x - 6}))}{2 (\frac{x}{x - 6}) - 2}$

Étape 5.2.3.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{2 (3 (\frac{2 x}{x - 6}))}{2 (\frac{x}{x - 6}) + 2 (- 1)}$

Étape 5.2.3.1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \frac{x}{x - 6} + 2 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{2 (3 (\frac{2 x}{x - 6}))}{2 (\frac{x}{x - 6} - 1)}$

Étape 5.2.3.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{2 (3 (\frac{2 x}{x - 6}))}{2 (\frac{x}{x - 6} - 1)}$

Étape 5.2.3.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{3 (\frac{2 x}{x - 6})}{\frac{x}{x - 6} - 1}$

Étape 5.2.3.2

Associez $3$ et $\frac{2 x}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 6}}{\frac{x}{x - 6} - 1}$

Étape 5.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.4.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 6}}{\frac{x}{x - 6} - 1 \cdot \frac{x - 6}{x - 6}}$

Étape 5.2.4.2

Associez $- 1$ et $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 6}}{\frac{x}{x - 6} + \frac{- (x - 6)}{x - 6}}$

Étape 5.2.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 6}}{\frac{x - (x - 6)}{x - 6}}$

Étape 5.2.4.4

Réécrivez $\frac{x - (x - 6)}{x - 6}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 6}}{\frac{x - x + 6}{x - 6}}$

Étape 5.2.4.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 6}}{\frac{x - x + 6}{x - 6}}$

Étape 5.2.4.4.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 6}}{\frac{0 + 6}{x - 6}}$

Étape 5.2.4.4.4

Additionnez $0$ et $6$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 6}}{\frac{6}{x - 6}}$

Étape 5.2.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{6 x}{x - 6}}{\frac{6}{x - 6}}$

Étape 5.2.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{6 x}{x - 6} \cdot \frac{x - 6}{6}$

Étape 5.2.7

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.2.7.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{6 (x)}{x - 6} \cdot \frac{x - 6}{6}$

Étape 5.2.7.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{6 x}{x - 6} \cdot \frac{x - 6}{6}$

Étape 5.2.7.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{x}{x - 6} \cdot (x - 6)$

Étape 5.2.8

Annulez le facteur commun de $x - 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{x}{x - 6} \cdot (x - 6)$

Étape 5.2.8.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{6 x}{x - 2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{6 x}{x - 2})}{(\frac{6 x}{x - 2}) - 6}$

Étape 5.3.3

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $\frac{6 x}{x - 2}$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{6 x}{x - 2})}{2 (\frac{3 x}{x - 2}) - 6}$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{6 x}{x - 2})}{2 (\frac{3 x}{x - 2}) + 2 \cdot - 3}$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \frac{3 x}{x - 2} + 2 (- 3)$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{6 x}{x - 2})}{2 (\frac{3 x}{x - 2} - 3)}$

Étape 5.3.3.4

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{6 x}{x - 2})}{2 (\frac{3 x}{x - 2} - 3)}$

Étape 5.3.3.5

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{\frac{6 x}{x - 2}}{\frac{3 x}{x - 2} - 3}$

Étape 5.3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 x}{x - 2} - 3}$

Étape 5.3.5

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.1

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 x}{x - 2} - 3 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}}$

Étape 5.3.5.2

Associez $- 3$ et $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 x}{x - 2} + \frac{- 3 (x - 2)}{x - 2}}$

Étape 5.3.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 x - 3 (x - 2)}{x - 2}}$

Étape 5.3.5.4

Réécrivez $\frac{3 x - 3 (x - 2)}{x - 2}$ en forme factorisée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x - 3 (x - 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.4.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 (x) - 3 (x - 2)}{x - 2}}$

Étape 5.3.5.4.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3 (x - 2)$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 (x) + 3 (- (x - 2))}{x - 2}}$

Étape 5.3.5.4.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (x) + 3 (- (x - 2))$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 (x - (x - 2))}{x - 2}}$

Étape 5.3.5.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 (x - x + 2)}{x - 2}}$

Étape 5.3.5.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 (x - x + 2)}{x - 2}}$

Étape 5.3.5.4.4

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 (0 + 2)}{x - 2}}$

Étape 5.3.5.4.5

Additionnez $0$ et $2$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 \cdot 2}{x - 2}}$

Étape 5.3.5.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{6}{x - 2}}$

Étape 5.3.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot (1 (\frac{x - 2}{6}))$

Étape 5.3.7

Multipliez $\frac{x - 2}{6}$ par $1$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{6}$

Étape 5.3.8

Annulez le facteur commun de $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.8.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{6}$

Étape 5.3.8.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{6}$

Étape 5.3.8.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Étape 5.3.9

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.9.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Étape 5.3.9.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{6 x}{x - 2}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{2 x}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x}{x - 2}$