Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ comme une équation.

$y = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez l’équation par $y^{2} + y - 2$ .

$(y^{2} + y - 2) (x) = (\frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}) (y^{2} + y - 2)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} x + y x - 2 x = (\frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}) (y^{2} + y - 2)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez $(\frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}) (y^{2} + y - 2)$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.3.1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{y^{2} + 2 y + 1^{2}}{y^{2} + y - 2} (y^{2} + y - 2)$

Étape 3.3.1.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 y = 2 \cdot y \cdot 1$

Étape 3.3.1.1.3

Réécrivez le polynôme.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{y^{2} + 2 \cdot y \cdot 1 + 1^{2}}{y^{2} + y - 2} (y^{2} + y - 2)$

Étape 3.3.1.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = y$ et $b = 1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2}}{y^{2} + y - 2} (y^{2} + y - 2)$

Étape 3.3.1.2

Factorisez $y^{2} + y - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.3.1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $1$ .

$- 1, 2$

Étape 3.3.1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2}}{(y - 1) (y + 2)} (y^{2} + y - 2)$

Étape 3.3.1.3

Multipliez $\frac{{(y + 1)}^{2}}{(y - 1) (y + 2)}$ par $y^{2} + y - 2$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y^{2} + y - 2)}{(y - 1) (y + 2)}$

Étape 3.3.1.4

Factorisez $y^{2} + y - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.3.1.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $1$ .

$- 1, 2$

Étape 3.3.1.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} ((y - 1) (y + 2))}{(y - 1) (y + 2)}$

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y - 1) (y + 2)}{(y - 1) (y + 2)}$

Étape 3.3.1.5

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.3.1.5.1

Annulez le facteur commun de $y - 1$ .

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Étape 3.3.1.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y - 1) (y + 2)}{(y - 1) (y + 2)}$

Étape 3.3.1.5.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y + 2)}{y + 2}$

Étape 3.3.1.5.2

Annulez le facteur commun de $y + 2$ .

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Étape 3.3.1.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y + 2)}{y + 2}$

Étape 3.3.1.5.2.2

Divisez ${(y + 1)}^{2}$ par $1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = {(y + 1)}^{2}$

Étape 3.3.1.5.3

Réécrivez ${(y + 1)}^{2}$ comme $(y + 1) (y + 1)$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = (y + 1) (y + 1)$

Étape 3.3.1.6

Développez $(y + 1) (y + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} x + y x - 2 x = y (y + 1) + 1 (y + 1)$

Étape 3.3.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} x + y x - 2 x = y \cdot y + y \cdot 1 + 1 (y + 1)$

Étape 3.3.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} x + y x - 2 x = y \cdot y + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1$

Étape 3.3.1.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.7.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1$

Étape 3.3.1.7.1.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y + 1 y + 1 \cdot 1$

Étape 3.3.1.7.1.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y + y + 1 \cdot 1$

Étape 3.3.1.7.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y + y + 1$

Étape 3.3.1.7.2

Additionnez $y$ et $y$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + 2 y + 1$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.4.1.1

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} x + y x - 2 x - y^{2} = 2 y + 1$

Étape 3.4.1.2

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} x + y x - 2 x - y^{2} - 2 y = 1$

Étape 3.4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} x + y x - 2 x - y^{2} - 2 y - 1 = 0$

Étape 3.4.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.4.4

Remplacez les valeurs $a = x - 1$ , $b = x - 2$ et $c = - 2 x - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- (x - 2) \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot ((x - 1) \cdot (- 2 x - 1))}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.5.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.5.3

Réécrivez ${(x - 2)}^{2}$ comme $(x - 2) (x - 2)$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{(x - 2) (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.5.4

Développez $(x - 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.4.5.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (x - 2) - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.5.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.5.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.5.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.4.5.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.5.5.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.5.5.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.5.5.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.5.5.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.5.6

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x - 4 \cdot - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.5.7

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x + 4) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.5.8

Développez $(- 4 x + 4) (- 2 x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.4.5.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x - 1) + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.5.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.5.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.5.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.4.5.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.5.9.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.5.9.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.5.9.1.2.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.5.9.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x^{2}) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.5.9.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.5.9.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.5.9.1.5

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.5.9.1.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.5.9.2

Soustrayez $8 x$ de $4 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.5.10

Additionnez $x^{2}$ et $8 x^{2}$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.5.11

Soustrayez $4 x$ de $- 4 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 4 - 4}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.5.12

Soustrayez $4$ de $4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 0}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.5.13

Additionnez $9 x^{2} - 8 x$ et $0$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.5.14

Factorisez $x$ à partir de $9 x^{2} - 8 x$ .

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Étape 3.4.5.14.1

Factorisez $x$ à partir de $9 x^{2}$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) - 8 x}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.5.14.2

Factorisez $x$ à partir de $- 8 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) + x \cdot - 8}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.5.14.3

Factorisez $x$ à partir de $x (9 x) + x \cdot - 8$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.4.6.1

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{- x + 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.6.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$y = \frac{- (x) + 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.6.3

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$y = \frac{- (x) - 1 \cdot - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.6.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$y = \frac{- (x - 2) + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.6.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{x (9 x - 8)}$ .

$y = \frac{- (x - 2) - 1 (- \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.6.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x - 2) - 1 (- \sqrt{x (9 x - 8)})$ .

$y = \frac{- (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.6.7

Réécrivez $- (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})$ comme $- 1 (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})$ .

$y = \frac{- 1 (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.6.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.4.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.7.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.7.1.3

Réécrivez ${(x - 2)}^{2}$ comme $(x - 2) (x - 2)$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{(x - 2) (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.7.1.4

Développez $(x - 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.4.7.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (x - 2) - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.7.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.7.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.7.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.4.7.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.7.1.5.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.7.1.5.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.7.1.5.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.7.1.5.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.7.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x - 4 \cdot - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.7.1.7

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x + 4) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.7.1.8

Développez $(- 4 x + 4) (- 2 x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.4.7.1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x - 1) + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.7.1.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.7.1.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.7.1.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.4.7.1.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.7.1.9.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.7.1.9.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.7.1.9.1.2.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.7.1.9.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x^{2}) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.7.1.9.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.7.1.9.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.7.1.9.1.5

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.7.1.9.1.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.7.1.9.2

Soustrayez $8 x$ de $4 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.7.1.10

Additionnez $x^{2}$ et $8 x^{2}$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.7.1.11

Soustrayez $4 x$ de $- 4 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 4 - 4}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.7.1.12

Soustrayez $4$ de $4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 0}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.7.1.13

Additionnez $9 x^{2} - 8 x$ et $0$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.7.1.14

Factorisez $x$ à partir de $9 x^{2} - 8 x$ .

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Étape 3.4.7.1.14.1

Factorisez $x$ à partir de $9 x^{2}$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) - 8 x}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.7.1.14.2

Factorisez $x$ à partir de $- 8 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) + x \cdot - 8}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.7.1.14.3

Factorisez $x$ à partir de $x (9 x) + x \cdot - 8$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.7.2

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{- x + 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$y = \frac{- (x) + 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.7.4

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$y = \frac{- (x) - 1 \cdot - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.7.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$y = \frac{- (x - 2) - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.7.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{x (9 x - 8)}$ .

$y = \frac{- (x - 2) - (\sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.7.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x - 2) - (\sqrt{x (9 x - 8)})$ .

$y = \frac{- (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.7.8

Réécrivez $- (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})$ comme $- 1 (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})$ .

$y = \frac{- 1 (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.7.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Étape 3.4.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ et $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0] \cup [\frac{8}{9}, \infty)$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $- \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x (9 x - 8)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x (9 x - 8) \geq 0$

Étape 5.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$9 x - 8 = 0$

Étape 5.3.2.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.3.2.3

Définissez $9 x - 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.3.1

Définissez $9 x - 8$ égal à $0$ .

$9 x - 8 = 0$

Étape 5.3.2.3.2

Résolvez $9 x - 8 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.3.2.3.2.1

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$9 x = 8$

Étape 5.3.2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $9 x = 8$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $9 x = 8$ par $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{8}{9}$

Étape 5.3.2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 5.3.2.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 x}{9} = \frac{8}{9}$

Étape 5.3.2.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{8}{9}$

Étape 5.3.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (9 x - 8) \geq 0$ vraie.

$x = 0, \frac{8}{9}$

Étape 5.3.2.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < \frac{8}{9}$

$x > \frac{8}{9}$

Étape 5.3.2.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 5.3.2.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.3.2.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 5.3.2.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$(- 2) (9 (- 2) - 8) \geq 0$

Étape 5.3.2.6.1.3

Le côté gauche $52$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 5.3.2.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{8}{9}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.3.2.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{8}{9}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.44$

Étape 5.3.2.6.2.2

Remplacez $x$ par $0.44$ dans l’inégalité d’origine.

$(0.44) (9 (0.44) - 8) \geq 0$

Étape 5.3.2.6.2.3

Le côté gauche $- 1.7776$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 5.3.2.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{8}{9}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.3.2.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{8}{9}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 5.3.2.6.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$(3) (9 (3) - 8) \geq 0$

Étape 5.3.2.6.3.3

Le côté gauche $57$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 5.3.2.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Vrai

$0 < x < \frac{8}{9}$ Faux

$x > \frac{8}{9}$ Vrai

$x < 0$ Vrai

$0 < x < \frac{8}{9}$ Faux

$x > \frac{8}{9}$ Vrai

Étape 5.3.2.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq 0$ ou $x \geq \frac{8}{9}$

Étape 5.3.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 (x - 1) = 0$

Étape 5.3.4

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.4.1

Divisez chaque terme dans $2 (x - 1) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.3.4.1.1

Divisez chaque terme dans $2 (x - 1) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 5.3.4.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.4.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.4.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 5.3.4.1.2.1.2

Divisez $x - 1$ par $1$ .

$x - 1 = \frac{0}{2}$

Étape 5.3.4.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.4.1.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x - 1 = 0$

Étape 5.3.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 5.3.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0] \cup [\frac{8}{9}, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 5.4

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ n’est pas égal à la plage de $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ , $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ n’est pas un inverse de $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ .

Il n’y a pas d’inverse

Étape 6