Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 5}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{x - 1}{x + 5}$ comme une équation.

$y = \frac{x - 1}{x + 5}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{y - 1}{y + 5}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{y - 1}{y + 5} = x$ .

$\frac{y - 1}{y + 5} = x$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y + 5, 1$

Étape 3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y + 5, 1$

Étape 3.2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y + 5$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{y - 1}{y + 5} = x$ par $y + 5$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{y - 1}{y + 5} = x$ par $y + 5$ .

$\frac{y - 1}{y + 5} (y + 5) = x (y + 5)$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y + 5$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y - 1}{y + 5} (y + 5) = x (y + 5)$

Étape 3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$y - 1 = x (y + 5)$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = x y + x \cdot 5$

Étape 3.3.3.2

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$y - 1 = x y + 5 x$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Soustrayez $x y$ des deux côtés de l’équation.

$y - 1 - x y = 5 x$

Étape 3.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y - x y = 5 x + 1$

Étape 3.4.3

Factorisez $y$ à partir de $y - x y$ .

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - x y = 5 x + 1$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- x y$ .

$y \cdot 1 + y (- x) = 5 x + 1$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 1 + y (- x)$ .

$y (1 - x) = 5 x + 1$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $y (1 - x) = 5 x + 1$ par $1 - x$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $y (1 - x) = 5 x + 1$ par $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{5 x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $1 - x$ .

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Étape 3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{5 x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{5 x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

Étape 3.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{5 x + 1}{1 - x}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x + 1}{1 - x}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{5 x + 1}{1 - x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x - 1}{x + 5}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{5 (\frac{x - 1}{x + 5}) + 1}{1 - (\frac{x - 1}{x + 5})}$

Étape 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x + 5$ .

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Étape 5.2.3.1

Multipliez $\frac{5 \frac{x - 1}{x + 5} + 1}{1 - \frac{x - 1}{x + 5}}$ par $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{x + 5}{x + 5} \cdot \frac{5 (\frac{x - 1}{x + 5}) + 1}{1 - \frac{x - 1}{x + 5}}$

Étape 5.2.3.2

Associez.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (5 (\frac{x - 1}{x + 5}) + 1)}{(x + 5) (1 - \frac{x - 1}{x + 5})}$

Étape 5.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (5 (\frac{x - 1}{x + 5})) + (x + 5) \cdot 1}{(x + 5) \cdot 1 + (x + 5) (- \frac{x - 1}{x + 5})}$

Étape 5.2.5

Annulez le facteur commun de $x + 5$ .

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Étape 5.2.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x - 1}{x + 5}$ dans le numérateur.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (5 (\frac{x - 1}{x + 5})) + (x + 5) \cdot 1}{(x + 5) \cdot 1 + (x + 5) (\frac{- (x - 1)}{x + 5})}$

Étape 5.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (5 (\frac{x - 1}{x + 5})) + (x + 5) \cdot 1}{(x + 5) \cdot 1 + (x + 5) (\frac{- (x - 1)}{x + 5})}$

Étape 5.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (5 (\frac{x - 1}{x + 5})) + (x + 5) \cdot 1}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Étape 5.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.6.1

Factorisez $x + 5$ à partir de $(x + 5) \cdot 5 \frac{x - 1}{x + 5} + (x + 5) \cdot 1$ .

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Étape 5.2.6.1.1

Factorisez $x + 5$ à partir de $(x + 5) \cdot 5 \frac{x - 1}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (5 (\frac{x - 1}{x + 5})) + (x + 5) \cdot 1}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Étape 5.2.6.1.2

Factorisez $x + 5$ à partir de $(x + 5) \cdot 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (5 (\frac{x - 1}{x + 5})) + (x + 5) (1)}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Étape 5.2.6.1.3

Factorisez $x + 5$ à partir de $(x + 5) (5 \frac{x - 1}{x + 5}) + (x + 5) (1)$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (5 (\frac{x - 1}{x + 5}) + 1)}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Étape 5.2.6.2

Associez $5$ et $\frac{x - 1}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{5 (x - 1)}{x + 5} + 1)}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Étape 5.2.6.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{5 (x - 1)}{x + 5} + \frac{x + 5}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Étape 5.2.6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{5 (x - 1) + x + 5}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Étape 5.2.6.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{x + 5 (x - 1) + 5}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Étape 5.2.6.6

Réécrivez $\frac{x + 5 (x - 1) + 5}{x + 5}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.6.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{x + 5 x + 5 \cdot - 1 + 5}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Étape 5.2.6.6.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{x + 5 x - 5 + 5}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Étape 5.2.6.6.3

Additionnez $x$ et $5 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x - 5 + 5}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Étape 5.2.6.6.4

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x + 0}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Étape 5.2.6.6.5

Additionnez $6 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Étape 5.2.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.7.1

Multipliez $x + 5$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x}{x + 5})}{x + 5 - (x - 1)}$

Étape 5.2.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x}{x + 5})}{x + 5 - x + 1}$

Étape 5.2.7.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x}{x + 5})}{x + 5 - x + 1}$

Étape 5.2.7.4

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x}{x + 5})}{0 + 5 + 1}$

Étape 5.2.7.5

Additionnez $0$ et $5$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x}{x + 5})}{5 + 1}$

Étape 5.2.7.6

Additionnez $5$ et $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x}{x + 5})}{6}$

Étape 5.2.8

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.8.1

Factorisez $\frac{6 x}{x + 5}$ à partir de $\frac{(x + 5) \frac{6 x}{x + 5}}{6}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{6 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{6}$

Étape 5.2.8.2

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.2.8.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{6 (x)}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{6}$

Étape 5.2.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{6 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{6}$

Étape 5.2.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5)$

Étape 5.2.8.3

Annulez le facteur commun de $x + 5$ .

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Étape 5.2.8.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5)$

Étape 5.2.8.3.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{5 x + 1}{1 - x})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{(\frac{5 x + 1}{1 - x}) - 1}{(\frac{5 x + 1}{1 - x}) + 5}$

Étape 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $1 - x$ .

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $\frac{\frac{5 x + 1}{1 - x} - 1}{\frac{5 x + 1}{1 - x} + 5}$ par $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{1 - x}{1 - x} \cdot \frac{\frac{5 x + 1}{1 - x} - 1}{\frac{5 x + 1}{1 - x} + 5}$

Étape 5.3.3.2

Associez.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{5 x + 1}{1 - x} - 1)}{(1 - x) (\frac{5 x + 1}{1 - x} + 5)}$

Étape 5.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{5 x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{5 x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 5}$

Étape 5.3.5

Simplifiez en annulant.

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Étape 5.3.5.1

Annulez le facteur commun de $1 - x$ .

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Étape 5.3.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{5 x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{5 x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 5}$

Étape 5.3.5.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{5 x + 1 + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{5 x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 5}$

Étape 5.3.5.2

Annulez le facteur commun de $1 - x$ .

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Étape 5.3.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{5 x + 1 + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{5 x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 5}$

Étape 5.3.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{5 x + 1 + (1 - x) \cdot - 1}{5 x + 1 + (1 - x) \cdot 5}$

Étape 5.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{5 x + 1 + 1 \cdot - 1 - x \cdot - 1}{5 x + 1 + (1 - x) \cdot 5}$

Étape 5.3.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{5 x + 1 - 1 - x \cdot - 1}{5 x + 1 + (1 - x) \cdot 5}$

Étape 5.3.6.3

Multipliez $- x \cdot - 1$ .

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Étape 5.3.6.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{5 x + 1 - 1 + 1 x}{5 x + 1 + (1 - x) \cdot 5}$

Étape 5.3.6.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{5 x + 1 - 1 + x}{5 x + 1 + (1 - x) \cdot 5}$

Étape 5.3.6.4

Additionnez $5 x$ et $x$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x + 1 - 1}{5 x + 1 + (1 - x) \cdot 5}$

Étape 5.3.6.5

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x + 0}{5 x + 1 + (1 - x) \cdot 5}$

Étape 5.3.6.6

Additionnez $6 x$ et $0$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x}{5 x + 1 + (1 - x) \cdot 5}$

Étape 5.3.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x}{5 x + 1 + 1 \cdot 5 - x \cdot 5}$

Étape 5.3.7.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x}{5 x + 1 + 5 - x \cdot 5}$

Étape 5.3.7.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x}{5 x + 1 + 5 - 5 x}$

Étape 5.3.7.4

Soustrayez $5 x$ de $5 x$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x}{0 + 1 + 5}$

Étape 5.3.7.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x}{1 + 5}$

Étape 5.3.7.6

Additionnez $1$ et $5$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x}{6}$

Étape 5.3.8

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x}{6}$

Étape 5.3.8.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{5 x + 1}{1 - x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x - 1}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x + 1}{1 - x}$