Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{x + 3}{x - 8}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{x + 3}{x - 8}$ comme une équation.

$y = \frac{x + 3}{x - 8}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{y + 3}{y - 8}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez l’équation par $y - 8$ .

$(y - 8) (x) = (\frac{y + 3}{y - 8}) (y - 8)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y x - 8 x = (\frac{y + 3}{y - 8}) (y - 8)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $y - 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y x - 8 x = \frac{y + 3}{y - 8} (y - 8)$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y x - 8 x = y + 3$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$y x - 8 x - y = 3$

Étape 3.4.2

Ajoutez $8 x$ aux deux côtés de l’équation.

$y x - y = 3 + 8 x$

Étape 3.4.3

Factorisez $y$ à partir de $y x - y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y x$ .

$y (x) - y = 3 + 8 x$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = 3 + 8 x$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = 3 + 8 x$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $y (x - 1) = 3 + 8 x$ par $x - 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $y (x - 1) = 3 + 8 x$ par $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{3}{x - 1} + \frac{8 x}{x - 1}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{3}{x - 1} + \frac{8 x}{x - 1}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{3}{x - 1} + \frac{8 x}{x - 1}$

Étape 3.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{3 + 8 x}{x - 1}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 + 8 x}{x - 1}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{3 + 8 x}{x - 1}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x + 3}{x - 8}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 8})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 8}) = \frac{3 + 8 (\frac{x + 3}{x - 8})}{(\frac{x + 3}{x - 8}) - 1}$

Étape 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Multipliez $\frac{3 + 8 \frac{x + 3}{x - 8}}{\frac{x + 3}{x - 8} - 1}$ par $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 8}) = \frac{x - 8}{x - 8} \cdot \frac{3 + 8 (\frac{x + 3}{x - 8})}{\frac{x + 3}{x - 8} - 1}$

Étape 5.2.3.2

Associez.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 8}) = \frac{(x - 8) (3 + 8 (\frac{x + 3}{x - 8}))}{(x - 8) (\frac{x + 3}{x - 8} - 1)}$

Étape 5.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 8}) = \frac{(x - 8) \cdot 3 + (x - 8) (8 (\frac{x + 3}{x - 8}))}{(x - 8) (\frac{x + 3}{x - 8}) + (x - 8) \cdot - 1}$

Étape 5.2.5

Annulez le facteur commun de $x - 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 8}) = \frac{(x - 8) \cdot 3 + (x - 8) (8 (\frac{x + 3}{x - 8}))}{(x - 8) (\frac{x + 3}{x - 8}) + (x - 8) \cdot - 1}$

Étape 5.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 8}) = \frac{(x - 8) \cdot 3 + (x - 8) (8 (\frac{x + 3}{x - 8}))}{x + 3 + (x - 8) \cdot - 1}$

Étape 5.2.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.6.1

Factorisez $x - 8$ à partir de $(x - 8) \cdot 3 + (x - 8) \cdot 8 \frac{x + 3}{x - 8}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.6.1.1

Factorisez $x - 8$ à partir de $(x - 8) \cdot 3$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 8}) = \frac{(x - 8) (3) + (x - 8) (8 (\frac{x + 3}{x - 8}))}{x + 3 + (x - 8) \cdot - 1}$

Étape 5.2.6.1.2

Factorisez $x - 8$ à partir de $(x - 8) (3) + (x - 8) (8 \frac{x + 3}{x - 8})$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 8}) = \frac{(x - 8) (3 + 8 (\frac{x + 3}{x - 8}))}{x + 3 + (x - 8) \cdot - 1}$

Étape 5.2.6.2

Associez $8$ et $\frac{x + 3}{x - 8}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 8}) = \frac{(x - 8) (3 + \frac{8 (x + 3)}{x - 8})}{x + 3 + (x - 8) \cdot - 1}$

Étape 5.2.6.3

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 8}) = \frac{(x - 8) (\frac{3 (x - 8)}{x - 8} + \frac{8 (x + 3)}{x - 8})}{x + 3 + (x - 8) \cdot - 1}$

Étape 5.2.6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 8}) = \frac{(x - 8) (\frac{3 (x - 8) + 8 (x + 3)}{x - 8})}{x + 3 + (x - 8) \cdot - 1}$

Étape 5.2.6.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 8}) = \frac{(x - 8) (\frac{8 (x + 3) + 3 (x - 8)}{x - 8})}{x + 3 + (x - 8) \cdot - 1}$

Étape 5.2.6.6

Réécrivez $\frac{8 (x + 3) + 3 (x - 8)}{x - 8}$ en forme factorisée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.6.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 8}) = \frac{(x - 8) (\frac{8 x + 8 \cdot 3 + 3 (x - 8)}{x - 8})}{x + 3 + (x - 8) \cdot - 1}$

Étape 5.2.6.6.2

Multipliez $8$ par $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 8}) = \frac{(x - 8) (\frac{8 x + 24 + 3 (x - 8)}{x - 8})}{x + 3 + (x - 8) \cdot - 1}$

Étape 5.2.6.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 8}) = \frac{(x - 8) (\frac{8 x + 24 + 3 x + 3 \cdot - 8}{x - 8})}{x + 3 + (x - 8) \cdot - 1}$

Étape 5.2.6.6.4

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 8}) = \frac{(x - 8) (\frac{8 x + 24 + 3 x - 24}{x - 8})}{x + 3 + (x - 8) \cdot - 1}$

Étape 5.2.6.6.5

Additionnez $8 x$ et $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 8}) = \frac{(x - 8) (\frac{11 x + 24 - 24}{x - 8})}{x + 3 + (x - 8) \cdot - 1}$

Étape 5.2.6.6.6

Soustrayez $24$ de $24$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 8}) = \frac{(x - 8) (\frac{11 x + 0}{x - 8})}{x + 3 + (x - 8) \cdot - 1}$

Étape 5.2.6.6.7

Additionnez $11 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 8}) = \frac{(x - 8) (\frac{11 x}{x - 8})}{x + 3 + (x - 8) \cdot - 1}$

Étape 5.2.7

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 8}) = \frac{(x - 8) (\frac{11 x}{x - 8})}{x + 3 + x \cdot - 1 - 8 \cdot - 1}$

Étape 5.2.7.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 8}) = \frac{(x - 8) (\frac{11 x}{x - 8})}{x + 3 - 1 \cdot x - 8 \cdot - 1}$

Étape 5.2.7.3

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 8}) = \frac{(x - 8) (\frac{11 x}{x - 8})}{x + 3 - 1 \cdot x + 8}$

Étape 5.2.7.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 8}) = \frac{(x - 8) (\frac{11 x}{x - 8})}{x + 3 - x + 8}$

Étape 5.2.7.5

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 8}) = \frac{(x - 8) (\frac{11 x}{x - 8})}{0 + 3 + 8}$

Étape 5.2.7.6

Additionnez $0$ et $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 8}) = \frac{(x - 8) (\frac{11 x}{x - 8})}{3 + 8}$

Étape 5.2.7.7

Additionnez $3$ et $8$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 8}) = \frac{(x - 8) (\frac{11 x}{x - 8})}{11}$

Étape 5.2.8

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.8.1

Factorisez $\frac{11 x}{x - 8}$ à partir de $\frac{(x - 8) \frac{11 x}{x - 8}}{11}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 8}) = \frac{11 x}{x - 8} \cdot \frac{x - 8}{11}$

Étape 5.2.8.2

Annulez le facteur commun de $11$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.8.2.1

Factorisez $11$ à partir de $11 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 8}) = \frac{11 (x)}{x - 8} \cdot \frac{x - 8}{11}$

Étape 5.2.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 8}) = \frac{11 x}{x - 8} \cdot \frac{x - 8}{11}$

Étape 5.2.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 8}) = \frac{x}{x - 8} \cdot (x - 8)$

Étape 5.2.8.3

Annulez le facteur commun de $x - 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.8.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 8}) = \frac{x}{x - 8} \cdot (x - 8)$

Étape 5.2.8.3.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 8}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{3 + 8 x}{x - 1})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{3 + 8 x}{x - 1}) = \frac{(\frac{3 + 8 x}{x - 1}) + 3}{(\frac{3 + 8 x}{x - 1}) - 8}$

Étape 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Multipliez $\frac{\frac{3 + 8 x}{x - 1} + 3}{\frac{3 + 8 x}{x - 1} - 8}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{3 + 8 x}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{3 + 8 x}{x - 1} + 3}{\frac{3 + 8 x}{x - 1} - 8}$

Étape 5.3.3.2

Associez.

$f (\frac{3 + 8 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{3 + 8 x}{x - 1} + 3)}{(x - 1) (\frac{3 + 8 x}{x - 1} - 8)}$

Étape 5.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{3 + 8 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{3 + 8 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 3}{(x - 1) (\frac{3 + 8 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 8}$

Étape 5.3.5

Simplifiez en annulant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 + 8 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{3 + 8 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 3}{(x - 1) (\frac{3 + 8 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 8}$

Étape 5.3.5.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 + 8 x}{x - 1}) = \frac{3 + 8 x + (x - 1) \cdot 3}{(x - 1) (\frac{3 + 8 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 8}$

Étape 5.3.5.2

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 + 8 x}{x - 1}) = \frac{3 + 8 x + (x - 1) \cdot 3}{(x - 1) (\frac{3 + 8 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 8}$

Étape 5.3.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 + 8 x}{x - 1}) = \frac{3 + 8 x + (x - 1) \cdot 3}{3 + 8 x + (x - 1) \cdot - 8}$

Étape 5.3.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{3 + 8 x}{x - 1}) = \frac{3 + 8 x + x \cdot 3 - 1 \cdot 3}{3 + 8 x + (x - 1) \cdot - 8}$

Étape 5.3.6.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$f (\frac{3 + 8 x}{x - 1}) = \frac{3 + 8 x + 3 \cdot x - 1 \cdot 3}{3 + 8 x + (x - 1) \cdot - 8}$

Étape 5.3.6.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (\frac{3 + 8 x}{x - 1}) = \frac{3 + 8 x + 3 \cdot x - 3}{3 + 8 x + (x - 1) \cdot - 8}$

Étape 5.3.6.4

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f (\frac{3 + 8 x}{x - 1}) = \frac{8 x + 3 x + 0}{3 + 8 x + (x - 1) \cdot - 8}$

Étape 5.3.6.5

Additionnez $8 x + 3 x$ et $0$ .

$f (\frac{3 + 8 x}{x - 1}) = \frac{8 x + 3 x}{3 + 8 x + (x - 1) \cdot - 8}$

Étape 5.3.6.6

Additionnez $8 x$ et $3 x$ .

$f (\frac{3 + 8 x}{x - 1}) = \frac{11 x}{3 + 8 x + (x - 1) \cdot - 8}$

Étape 5.3.7

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{3 + 8 x}{x - 1}) = \frac{11 x}{3 + 8 x + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8}$

Étape 5.3.7.2

Déplacez $- 8$ à gauche de $x$ .

$f (\frac{3 + 8 x}{x - 1}) = \frac{11 x}{3 + 8 x - 8 \cdot x - 1 \cdot - 8}$

Étape 5.3.7.3

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$f (\frac{3 + 8 x}{x - 1}) = \frac{11 x}{3 + 8 x - 8 \cdot x + 8}$

Étape 5.3.7.4

Additionnez $3$ et $8$ .

$f (\frac{3 + 8 x}{x - 1}) = \frac{11 x}{8 x - 8 x + 11}$

Étape 5.3.7.5

Soustrayez $8 x$ de $8 x$ .

$f (\frac{3 + 8 x}{x - 1}) = \frac{11 x}{0 + 11}$

Étape 5.3.7.6

Additionnez $0$ et $11$ .

$f (\frac{3 + 8 x}{x - 1}) = \frac{11 x}{11}$

Étape 5.3.8

Annulez le facteur commun de $11$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 + 8 x}{x - 1}) = \frac{11 x}{11}$

Étape 5.3.8.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f (\frac{3 + 8 x}{x - 1}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{3 + 8 x}{x - 1}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x + 3}{x - 8}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 + 8 x}{x - 1}$