Pré-calcul Exemples

$f (x) = e^{3 x - 5} - 2$

Étape 1

Écrivez $f (x) = e^{3 x - 5} - 2$ comme une équation.

$y = e^{3 x - 5} - 2$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = e^{3 y - 5} - 2$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $e^{3 y - 5} - 2 = x$ .

$e^{3 y - 5} - 2 = x$

Étape 3.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$e^{3 y - 5} = x + 2$

Étape 3.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{3 y - 5}) = \ln (x + 2)$

Étape 3.4

Développez le côté gauche.

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Étape 3.4.1

Développez $\ln (e^{3 y - 5})$ en déplaçant $3 y - 5$ hors du logarithme.

$(3 y - 5) \ln (e) = \ln (x + 2)$

Étape 3.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$(3 y - 5) \cdot 1 = \ln (x + 2)$

Étape 3.4.3

Multipliez $3 y - 5$ par $1$ .

$3 y - 5 = \ln (x + 2)$

Étape 3.5

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$3 y = \ln (x + 2) + 5$

Étape 3.6

Divisez chaque terme dans $3 y = \ln (x + 2) + 5$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.6.1

Divisez chaque terme dans $3 y = \ln (x + 2) + 5$ par $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

Étape 3.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

Étape 3.6.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$ est l’inverse de $f (x) = e^{3 x - 5} - 2$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln ((e^{3 x - 5} - 2) + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

Étape 5.2.3

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.3.1

Associez les termes opposés dans $\frac{\ln ((e^{3 x - 5} - 2) + 2)}{3} + \frac{5}{3}$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln (e^{3 x - 5} + 0)}{3} + \frac{5}{3}$

Étape 5.2.3.1.2

Additionnez $e^{3 x - 5}$ et $0$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln (e^{3 x - 5})}{3} + \frac{5}{3}$

Étape 5.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln (e^{3 x - 5}) + 5}{3}$

Étape 5.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.1

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $3 x - 5$ de l’exposant.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{(3 x - 5) \ln (e) + 5}{3}$

Étape 5.2.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{(3 x - 5) \cdot 1 + 5}{3}$

Étape 5.2.4.3

Multipliez $3 x - 5$ par $1$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x - 5 + 5}{3}$

Étape 5.2.5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.5.1

Associez les termes opposés dans $3 x - 5 + 5$ .

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Étape 5.2.5.1.1

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x + 0}{3}$

Étape 5.2.5.1.2

Additionnez $3 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x}{3}$

Étape 5.2.5.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x}{3}$

Étape 5.2.5.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1.1

Réécrivez $\frac{\ln (x + 2)}{3}$ comme $\frac{1}{3} \ln (x + 2)$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{1}{3} \cdot \ln (x + 2) + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

Étape 5.3.3.1.1.2

Simplifiez $\frac{1}{3} \ln (x + 2)$ en déplaçant $\frac{1}{3}$ dans le logarithme.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

Étape 5.3.3.1.2

Pour écrire $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

Étape 5.3.3.1.3

Associez $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3}{3} + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

Étape 5.3.3.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3 + 5}{3}) - 5} - 2$

Étape 5.3.3.1.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.1.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1.5.1.1

Multipliez $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3$ .

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Étape 5.3.3.1.5.1.1.1

Remettez dans l’ordre $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ et $3$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{3 \cdot \ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) + 5}{3}) - 5} - 2$

Étape 5.3.3.1.5.1.1.2

Simplifiez $3 \cdot \ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}) + 5}{3}) - 5} - 2$

Étape 5.3.3.1.5.1.2

Multipliez les exposants dans ${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 5.3.3.1.5.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}) + 5}{3}) - 5} - 2$

Étape 5.3.3.1.5.1.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.1.5.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}) + 5}{3}) - 5} - 2$

Étape 5.3.3.1.5.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{1}) + 5}{3}) - 5} - 2$

Étape 5.3.3.1.5.1.3

Simplifiez

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln (x + 2) + 5}{3}) - 5} - 2$

Étape 5.3.3.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln (x + 2) + 5}{3}) - 5} - 2$

Étape 5.3.3.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{\ln (x + 2) + 5 - 5} - 2$

Étape 5.3.3.2

Associez les termes opposés dans $\ln (x + 2) + 5 - 5$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Soustrayez $5$ de $5$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{\ln (x + 2) + 0} - 2$

Étape 5.3.3.2.2

Additionnez $\ln (x + 2)$ et $0$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{\ln (x + 2)} - 2$

Étape 5.3.3.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = x + 2 - 2$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x + 2 - 2$ .

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$ est l’inverse de $f (x) = e^{3 x - 5} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$