Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{8}{5 + x}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{8}{5 + x}$ comme une équation.

$y = \frac{8}{5 + x}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{8}{5 + y}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{8}{5 + y} = x$ .

$\frac{8}{5 + y} = x$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$5 + y, 1$

Étape 3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$5 + y, 1$

Étape 3.2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$5 + y$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{8}{5 + y} = x$ par $5 + y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{8}{5 + y} = x$ par $5 + y$ .

$\frac{8}{5 + y} (5 + y) = x (5 + y)$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $5 + y$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8}{5 + y} (5 + y) = x (5 + y)$

Étape 3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$8 = x (5 + y)$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 = x \cdot 5 + x y$

Étape 3.3.3.2

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$8 = 5 x + x y$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $5 x + x y = 8$ .

$5 x + x y = 8$

Étape 3.4.2

Soustrayez $5 x$ des deux côtés de l’équation.

$x y = 8 - 5 x$

Étape 3.4.3

Divisez chaque terme dans $x y = 8 - 5 x$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 3.4.3.1

Divisez chaque terme dans $x y = 8 - 5 x$ par $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{8}{x} + \frac{- 5 x}{x}$

Étape 3.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y}{x} = \frac{8}{x} + \frac{- 5 x}{x}$

Étape 3.4.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{8}{x} + \frac{- 5 x}{x}$

Étape 3.4.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{8}{x} + \frac{- 5 x}{x}$

Étape 3.4.3.3.1.2

Divisez $- 5$ par $1$ .

$y = \frac{8}{x} - 5$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{8}{x} - 5$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{8}{x} - 5$ est l’inverse de $f (x) = \frac{8}{5 + x}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{8}{5 + x})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{8}{5 + x}) = \frac{8}{\frac{8}{5 + x}} - 5$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{8}{5 + x}) = 8 (\frac{5 + x}{8}) - 5$

Étape 5.2.3.2

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{8}{5 + x}) = 8 (\frac{5 + x}{8}) - 5$

Étape 5.2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{8}{5 + x}) = 5 + x - 5$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $5 + x - 5$ .

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Étape 5.2.4.1

Soustrayez $5$ de $5$ .

$f^{- 1} (\frac{8}{5 + x}) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{8}{5 + x}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{8}{x} - 5)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{8}{x} - 5) = \frac{8}{5 + \frac{8}{x} - 5}$

Étape 5.3.3

Supprimez les parenthèses.

$f (\frac{8}{x} - 5) = \frac{8}{5 + \frac{8}{x} - 5}$

Étape 5.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $5$ de $5$ .

$f (\frac{8}{x} - 5) = \frac{8}{\frac{8}{x} + 0}$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $\frac{8}{x}$ et $0$ .

$f (\frac{8}{x} - 5) = \frac{8}{\frac{8}{x}}$

Étape 5.3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{8}{x} - 5) = 8 (\frac{x}{8})$

Étape 5.3.6

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 5.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{8}{x} - 5) = 8 (\frac{x}{8})$

Étape 5.3.6.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{8}{x} - 5) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{8}{x} - 5$ est l’inverse de $f (x) = \frac{8}{5 + x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{8}{x} - 5$