Pré-calcul Exemples

$f (x) = \sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4$ comme une équation.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \sqrt[3]{\frac{y}{8}} - 4$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt[3]{\frac{y}{8}} - 4 = x$ .

$\sqrt[3]{\frac{y}{8}} - 4 = x$

Étape 3.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt[3]{\frac{y}{8}} = x + 4$

Étape 3.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{\frac{y}{8}}}^{3} = {(x + 4)}^{3}$

Étape 3.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{\frac{y}{8}}$ comme ${(\frac{y}{8})}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(\frac{y}{8})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + 4)}^{3}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez ${({(\frac{y}{8})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(\frac{y}{8})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{y}{8})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + 4)}^{3}$

Étape 3.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{y}{8})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + 4)}^{3}$

Étape 3.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{y}{8})}^{1} = {(x + 4)}^{3}$

Étape 3.4.2.1.2

Simplifiez

$\frac{y}{8} = {(x + 4)}^{3}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Simplifiez ${(x + 4)}^{3}$ .

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Étape 3.4.3.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{y}{8} = x^{3} + 3 x^{2} \cdot 4 + 3 x \cdot 4^{2} + 4^{3}$

Étape 3.4.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.1.2.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{y}{8} = x^{3} + 12 x^{2} + 3 x \cdot 4^{2} + 4^{3}$

Étape 3.4.3.1.2.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{y}{8} = x^{3} + 12 x^{2} + 3 x \cdot 16 + 4^{3}$

Étape 3.4.3.1.2.3

Multipliez $16$ par $3$ .

$\frac{y}{8} = x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 4^{3}$

Étape 3.4.3.1.2.4

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{y}{8} = x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $8$ .

$8 \frac{y}{8} = 8 (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64)$

Étape 3.5.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 3.5.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$8 \frac{y}{8} = 8 (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64)$

Étape 3.5.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = 8 (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64)$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.2.1

Simplifiez $8 (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64)$ .

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Étape 3.5.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 8 x^{3} + 8 (12 x^{2}) + 8 (48 x) + 8 \cdot 64$

Étape 3.5.2.2.1.2

Simplifiez

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Étape 3.5.2.2.1.2.1

Multipliez $12$ par $8$ .

$y = 8 x^{3} + 96 x^{2} + 8 (48 x) + 8 \cdot 64$

Étape 3.5.2.2.1.2.2

Multipliez $48$ par $8$ .

$y = 8 x^{3} + 96 x^{2} + 384 x + 8 \cdot 64$

Étape 3.5.2.2.1.2.3

Multipliez $8$ par $64$ .

$y = 8 x^{3} + 96 x^{2} + 384 x + 512$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 8 x^{3} + 96 x^{2} + 384 x + 512$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 8 x^{3} + 96 x^{2} + 384 x + 512$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = 8 {(\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4)}^{2} + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1.1

Réécrivez $\frac{x}{8}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{3} x$ .

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Étape 5.2.3.1.1.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{3}$ dans $x$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = 8 {(\sqrt[3]{\frac{1^{3} x}{8}} - 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4)}^{2} + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.1.1.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{3}$ dans $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = 8 {(\sqrt[3]{\frac{1^{3} x}{2^{3} \cdot 1}} - 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4)}^{2} + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.1.1.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{3} x}{2^{3} \cdot 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = 8 {(\sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3} x} - 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4)}^{2} + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = 8 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x} - 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4)}^{2} + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4)}^{2} + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.2

Utilisez le théorème du binôme.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = 8 ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{2})}^{3} + 3 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2})}^{2} \cdot - 4 + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}) + 96 {(\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4)}^{2} + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = 8 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2})}^{2} \cdot - 4 + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}) + 96 {(\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4)}^{2} + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.3.2

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ comme $x$ .

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Étape 5.2.3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = 8 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2})}^{2} \cdot - 4 + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}) + 96 {(\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4)}^{2} + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = 8 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2})}^{2} \cdot - 4 + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}) + 96 {(\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4)}^{2} + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.3.2.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = 8 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2})}^{2} \cdot - 4 + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}) + 96 {(\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4)}^{2} + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.3.2.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.3.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.2.3.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = 8 (\frac{x}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2})}^{2} \cdot - 4 + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}) + 96 {(\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4)}^{2} + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.3.2.5

Simplifiez

Étape 5.2.3.3.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = 8 (\frac{x}{8} + 3 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2})}^{2} \cdot - 4 + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}) + 96 {(\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4)}^{2} + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.3.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = 8 (\frac{x}{8} + 3 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{2^{2}}) \cdot - 4 + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}) + 96 {(\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4)}^{2} + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.3.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = 8 (\frac{x}{8} + 3 (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{2^{2}}) \cdot - 4 + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}) + 96 {(\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4)}^{2} + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.3.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = 8 (\frac{x}{8} + 3 (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4}) \cdot - 4 + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}) + 96 {(\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4)}^{2} + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.3.7

Associez $3$ et $\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = 8 (\frac{x}{8} + \frac{3 \sqrt[3]{x^{2}}}{4} \cdot - 4 + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}) + 96 {(\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4)}^{2} + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.3.8

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.3.3.8.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = 8 (\frac{x}{8} + \frac{3 \sqrt[3]{x^{2}}}{4} \cdot (4 (- 1)) + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}) + 96 {(\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4)}^{2} + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.3.8.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = 8 (\frac{x}{8} + \frac{3 \sqrt[3]{x^{2}}}{4} \cdot (4 \cdot - 1) + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}) + 96 {(\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4)}^{2} + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.3.8.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = 8 (\frac{x}{8} + 3 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot - 1 + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}) + 96 {(\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4)}^{2} + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.3.9

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = 8 (\frac{x}{8} - 3 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}) + 96 {(\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4)}^{2} + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.3.10

Associez $3$ et $\frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = 8 (\frac{x}{8} - 3 \sqrt[3]{x^{2}} + \frac{3 \sqrt[3]{x}}{2} \cdot {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}) + 96 {(\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4)}^{2} + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.3.11

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = 8 (\frac{x}{8} - 3 \sqrt[3]{x^{2}} + \frac{3 \sqrt[3]{x}}{2} \cdot 16 + {(- 4)}^{3}) + 96 {(\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4)}^{2} + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.3.12

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.3.12.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = 8 (\frac{x}{8} - 3 \sqrt[3]{x^{2}} + \frac{3 \sqrt[3]{x}}{2} \cdot (2 (8)) + {(- 4)}^{3}) + 96 {(\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4)}^{2} + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.3.12.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = 8 (\frac{x}{8} - 3 \sqrt[3]{x^{2}} + \frac{3 \sqrt[3]{x}}{2} \cdot (2 \cdot 8) + {(- 4)}^{3}) + 96 {(\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4)}^{2} + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.3.12.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = 8 (\frac{x}{8} - 3 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 8 + {(- 4)}^{3}) + 96 {(\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4)}^{2} + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.3.13

Multipliez $8$ par $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = 8 (\frac{x}{8} - 3 \sqrt[3]{x^{2}} + 24 \sqrt[3]{x} + {(- 4)}^{3}) + 96 {(\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4)}^{2} + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.3.14

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = 8 (\frac{x}{8} - 3 \sqrt[3]{x^{2}} + 24 \sqrt[3]{x} - 64) + 96 {(\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4)}^{2} + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = 8 (\frac{x}{8}) + 8 (- 3 \sqrt[3]{x^{2}}) + 8 (24 \sqrt[3]{x}) + 8 \cdot - 64 + 96 {(\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4)}^{2} + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.5

Simplifiez

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Étape 5.2.3.5.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 5.2.3.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = 8 (\frac{x}{8}) + 8 (- 3 \sqrt[3]{x^{2}}) + 8 (24 \sqrt[3]{x}) + 8 \cdot - 64 + 96 {(\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4)}^{2} + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.5.1.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x + 8 (- 3 \sqrt[3]{x^{2}}) + 8 (24 \sqrt[3]{x}) + 8 \cdot - 64 + 96 {(\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4)}^{2} + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.5.2

Multipliez $- 3$ par $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 8 (24 \sqrt[3]{x}) + 8 \cdot - 64 + 96 {(\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4)}^{2} + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.5.3

Multipliez $24$ par $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} + 8 \cdot - 64 + 96 {(\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4)}^{2} + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.5.4

Multipliez $8$ par $- 64$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 96 {(\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4)}^{2} + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.6.1

Réécrivez $\frac{x}{8}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{3} x$ .

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Étape 5.2.3.6.1.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{3}$ dans $x$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 96 {(\sqrt[3]{\frac{1^{3} x}{8}} - 4)}^{2} + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.6.1.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{3}$ dans $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 96 {(\sqrt[3]{\frac{1^{3} x}{2^{3} \cdot 1}} - 4)}^{2} + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.6.1.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{3} x}{2^{3} \cdot 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 96 {(\sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3} x} - 4)}^{2} + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.6.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 96 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x} - 4)}^{2} + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 96 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - 4)}^{2} + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.7

Réécrivez ${(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - 4)}^{2}$ comme $(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - 4) (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - 4)$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 96 ((\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - 4) (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - 4)) + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.8

Développez $(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - 4) (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.3.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 96 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} \cdot (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - 4) - 4 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - 4)) + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 96 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{2} + \frac{\sqrt[3]{x}}{2} \cdot - 4 - 4 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - 4)) + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 96 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{2} + \frac{\sqrt[3]{x}}{2} \cdot - 4 - 4 \frac{\sqrt[3]{x}}{2} - 4 \cdot - 4) + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.3.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.9.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{x}}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ .

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Étape 5.2.3.9.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ par $\frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 96 (\frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt[3]{x}}{2} \cdot - 4 - 4 \frac{\sqrt[3]{x}}{2} - 4 \cdot - 4) + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.9.1.1.2

Élevez $\sqrt[3]{x}$ à la puissance $1$ .

Étape 5.2.3.9.1.1.3

Élevez $\sqrt[3]{x}$ à la puissance $1$ .

Étape 5.2.3.9.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 96 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt[3]{x}}{2} \cdot - 4 - 4 \frac{\sqrt[3]{x}}{2} - 4 \cdot - 4) + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.9.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 96 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt[3]{x}}{2} \cdot - 4 - 4 \frac{\sqrt[3]{x}}{2} - 4 \cdot - 4) + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.9.1.1.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 96 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{4} + \frac{\sqrt[3]{x}}{2} \cdot - 4 - 4 \frac{\sqrt[3]{x}}{2} - 4 \cdot - 4) + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.9.1.2

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 96 (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4} + \frac{\sqrt[3]{x}}{2} \cdot - 4 - 4 \frac{\sqrt[3]{x}}{2} - 4 \cdot - 4) + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.9.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.9.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 96 (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4} + \frac{\sqrt[3]{x}}{2} \cdot (2 (- 2)) - 4 \frac{\sqrt[3]{x}}{2} - 4 \cdot - 4) + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.9.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 96 (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4} + \frac{\sqrt[3]{x}}{2} \cdot (2 \cdot - 2) - 4 \frac{\sqrt[3]{x}}{2} - 4 \cdot - 4) + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.9.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 96 (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4} + \sqrt[3]{x} \cdot - 2 - 4 \frac{\sqrt[3]{x}}{2} - 4 \cdot - 4) + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.9.1.4

Déplacez $- 2$ à gauche de $\sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 96 (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4} - 2 \cdot \sqrt[3]{x} - 4 \frac{\sqrt[3]{x}}{2} - 4 \cdot - 4) + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.9.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.9.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 96 (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4} - 2 \sqrt[3]{x} + 2 (- 2) (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) - 4 \cdot - 4) + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.9.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 96 (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4} - 2 \sqrt[3]{x} + 2 \cdot (- 2 \frac{\sqrt[3]{x}}{2}) - 4 \cdot - 4) + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.9.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 96 (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4} - 2 \sqrt[3]{x} - 2 \sqrt[3]{x} - 4 \cdot - 4) + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.9.1.6

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 96 (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4} - 2 \sqrt[3]{x} - 2 \sqrt[3]{x} + 16) + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.9.2

Soustrayez $2 \sqrt[3]{x}$ de $- 2 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 96 (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4} - 4 \sqrt[3]{x} + 16) + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.10

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 96 (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4}) + 96 (- 4 \sqrt[3]{x}) + 96 \cdot 16 + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.11

Simplifiez

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Étape 5.2.3.11.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.3.11.1.1

Factorisez $4$ à partir de $96$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 4 (24) (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4}) + 96 (- 4 \sqrt[3]{x}) + 96 \cdot 16 + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.11.1.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 4 \cdot (24 (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4})) + 96 (- 4 \sqrt[3]{x}) + 96 \cdot 16 + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.11.1.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 96 (- 4 \sqrt[3]{x}) + 96 \cdot 16 + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.11.2

Multipliez $- 4$ par $96$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 24 \sqrt[3]{x^{2}} - 384 \sqrt[3]{x} + 96 \cdot 16 + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.11.3

Multipliez $96$ par $16$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 24 \sqrt[3]{x^{2}} - 384 \sqrt[3]{x} + 1536 + 384 (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.12.1

Réécrivez $\frac{x}{8}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{3} x$ .

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Étape 5.2.3.12.1.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{3}$ dans $x$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 24 \sqrt[3]{x^{2}} - 384 \sqrt[3]{x} + 1536 + 384 (\sqrt[3]{\frac{1^{3} x}{8}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.12.1.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{3}$ dans $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 24 \sqrt[3]{x^{2}} - 384 \sqrt[3]{x} + 1536 + 384 (\sqrt[3]{\frac{1^{3} x}{2^{3} \cdot 1}} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.12.1.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{3} x}{2^{3} \cdot 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 24 \sqrt[3]{x^{2}} - 384 \sqrt[3]{x} + 1536 + 384 (\sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3} x} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.12.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 24 \sqrt[3]{x^{2}} - 384 \sqrt[3]{x} + 1536 + 384 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.12.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 24 \sqrt[3]{x^{2}} - 384 \sqrt[3]{x} + 1536 + 384 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - 4) + 512$

Étape 5.2.3.13

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 24 \sqrt[3]{x^{2}} - 384 \sqrt[3]{x} + 1536 + 384 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) + 384 \cdot - 4 + 512$

Étape 5.2.3.14

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.14.1

Factorisez $2$ à partir de $384$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 24 \sqrt[3]{x^{2}} - 384 \sqrt[3]{x} + 1536 + 2 (192) (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) + 384 \cdot - 4 + 512$

Étape 5.2.3.14.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 24 \sqrt[3]{x^{2}} - 384 \sqrt[3]{x} + 1536 + 2 \cdot (192 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2})) + 384 \cdot - 4 + 512$

Étape 5.2.3.14.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 24 \sqrt[3]{x^{2}} - 384 \sqrt[3]{x} + 1536 + 192 \sqrt[3]{x} + 384 \cdot - 4 + 512$

Étape 5.2.3.15

Multipliez $384$ par $- 4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 24 \sqrt[3]{x^{2}} - 384 \sqrt[3]{x} + 1536 + 192 \sqrt[3]{x} - 1536 + 512$

Étape 5.2.4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.2.4.1

Associez les termes opposés dans $x - 24 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 \sqrt[3]{x} - 512 + 24 \sqrt[3]{x^{2}} - 384 \sqrt[3]{x} + 1536 + 192 \sqrt[3]{x} - 1536 + 512$ .

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Étape 5.2.4.1.1

Additionnez $- 24 \sqrt[3]{x^{2}}$ et $24 \sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x + 0 + 192 \sqrt[3]{x} - 512 - 384 \sqrt[3]{x} + 1536 + 192 \sqrt[3]{x} - 1536 + 512$

Étape 5.2.4.1.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x + 192 \sqrt[3]{x} - 512 - 384 \sqrt[3]{x} + 1536 + 192 \sqrt[3]{x} - 1536 + 512$

Étape 5.2.4.1.3

Soustrayez $1536$ de $1536$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x + 192 \sqrt[3]{x} - 512 - 384 \sqrt[3]{x} + 0 + 192 \sqrt[3]{x} + 512$

Étape 5.2.4.1.4

Additionnez $x + 192 \sqrt[3]{x} - 512 - 384 \sqrt[3]{x}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x + 192 \sqrt[3]{x} - 512 - 384 \sqrt[3]{x} + 192 \sqrt[3]{x} + 512$

Étape 5.2.4.1.5

Additionnez $- 512$ et $512$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x + 192 \sqrt[3]{x} + 0 - 384 \sqrt[3]{x} + 192 \sqrt[3]{x}$

Étape 5.2.4.1.6

Additionnez $x + 192 \sqrt[3]{x}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x + 192 \sqrt[3]{x} - 384 \sqrt[3]{x} + 192 \sqrt[3]{x}$

Étape 5.2.4.2

Soustrayez $384 \sqrt[3]{x}$ de $192 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x - 192 \sqrt[3]{x} + 192 \sqrt[3]{x}$

Étape 5.2.4.3

Associez les termes opposés dans $x - 192 \sqrt[3]{x} + 192 \sqrt[3]{x}$ .

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Étape 5.2.4.3.1

Additionnez $- 192 \sqrt[3]{x}$ et $192 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x + 0$

Étape 5.2.4.3.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (8 x^{3} + 96 x^{2} + 384 x + 512)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (8 x^{3} + 96 x^{2} + 384 x + 512) = \sqrt[3]{\frac{8 x^{3} + 96 x^{2} + 384 x + 512}{8}} - 4$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x^{3} + 96 x^{2} + 384 x + 512$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x^{3}$ .

$f (8 x^{3} + 96 x^{2} + 384 x + 512) = \sqrt[3]{\frac{8 (x^{3}) + 96 x^{2} + 384 x + 512}{8}} - 4$

Étape 5.3.3.1.2

Factorisez $8$ à partir de $96 x^{2}$ .

$f (8 x^{3} + 96 x^{2} + 384 x + 512) = \sqrt[3]{\frac{8 (x^{3}) + 8 (12 x^{2}) + 384 x + 512}{8}} - 4$

Étape 5.3.3.1.3

Factorisez $8$ à partir de $384 x$ .

$f (8 x^{3} + 96 x^{2} + 384 x + 512) = \sqrt[3]{\frac{8 (x^{3}) + 8 (12 x^{2}) + 8 (48 x) + 512}{8}} - 4$

Étape 5.3.3.1.4

Factorisez $8$ à partir de $512$ .

$f (8 x^{3} + 96 x^{2} + 384 x + 512) = \sqrt[3]{\frac{8 x^{3} + 8 (12 x^{2}) + 8 (48 x) + 8 \cdot 64}{8}} - 4$

Étape 5.3.3.1.5

Factorisez $8$ à partir de $8 x^{3} + 8 (12 x^{2})$ .

$f (8 x^{3} + 96 x^{2} + 384 x + 512) = \sqrt[3]{\frac{8 (x^{3} + 12 x^{2}) + 8 (48 x) + 8 \cdot 64}{8}} - 4$

Étape 5.3.3.1.6

Factorisez $8$ à partir de $8 (x^{3} + 12 x^{2}) + 8 (48 x)$ .

$f (8 x^{3} + 96 x^{2} + 384 x + 512) = \sqrt[3]{\frac{8 (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x) + 8 \cdot 64}{8}} - 4$

Étape 5.3.3.1.7

Factorisez $8$ à partir de $8 (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x) + 8 \cdot 64$ .

$f (8 x^{3} + 96 x^{2} + 384 x + 512) = \sqrt[3]{\frac{8 (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64)}{8}} - 4$

Étape 5.3.3.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.2.1

Réduisez l’expression $\frac{8 (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64)}{8}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (8 x^{3} + 96 x^{2} + 384 x + 512) = \sqrt[3]{\frac{8 (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64)}{8}} - 4$

Étape 5.3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (8 x^{3} + 96 x^{2} + 384 x + 512) = \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64}{1}} - 4$

Étape 5.3.3.2.2

Divisez $x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64$ par $1$ .

$f (8 x^{3} + 96 x^{2} + 384 x + 512) = \sqrt[3]{x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64} - 4$

Étape 5.3.3.3

Faites correspondre chaque terme aux termes de la formule du théorème du binôme.

$f (8 x^{3} + 96 x^{2} + 384 x + 512) = \sqrt[3]{x^{3} + 3 \cdot (4 x^{2}) + 3 \cdot (4^{2} x) + 4^{3}} - 4$

Étape 5.3.3.4

Factorisez $x^{3} + 3 \cdot 4 x^{2} + 3 \cdot 4^{2} x + 4^{3}$ en utilisant le théorème du binôme.

$f (8 x^{3} + 96 x^{2} + 384 x + 512) = \sqrt[3]{{(x + 4)}^{3}} - 4$

Étape 5.3.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f (8 x^{3} + 96 x^{2} + 384 x + 512) = x + 4 - 4$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x + 4 - 4$ .

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f (8 x^{3} + 96 x^{2} + 384 x + 512) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (8 x^{3} + 96 x^{2} + 384 x + 512) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 8 x^{3} + 96 x^{2} + 384 x + 512$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[3]{\frac{x}{8}} - 4$ .

$f^{- 1} (x) = 8 x^{3} + 96 x^{2} + 384 x + 512$