Pré-calcul Exemples

$f (x) = \sqrt{x + 4} - 2$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \sqrt{x + 4} - 2$ comme une équation.

$y = \sqrt{x + 4} - 2$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \sqrt{y + 4} - 2$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{y + 4} - 2 = x$ .

$\sqrt{y + 4} - 2 = x$

Étape 3.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt{y + 4} = x + 2$

Étape 3.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{y + 4}}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Étape 3.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y + 4}$ comme ${(y + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez ${({(y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y + 4)}^{1} = {(x + 2)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.2

Simplifiez

$y + 4 = {(x + 2)}^{2}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Simplifiez ${(x + 2)}^{2}$ .

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Étape 3.4.3.1.1

Réécrivez ${(x + 2)}^{2}$ comme $(x + 2) (x + 2)$ .

$y + 4 = (x + 2) (x + 2)$

Étape 3.4.3.1.2

Développez $(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.4.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y + 4 = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Étape 3.4.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y + 4 = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Étape 3.4.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + 4 = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Étape 3.4.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.4.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y + 4 = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Étape 3.4.3.1.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$y + 4 = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Étape 3.4.3.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$y + 4 = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Étape 3.4.3.1.3.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$y + 4 = x^{2} + 4 x + 4$

Étape 3.5

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.5.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$y = x^{2} + 4 x + 4 - 4$

Étape 3.5.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} + 4 x + 4 - 4$ .

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Étape 3.5.2.1

Soustrayez $4$ de $4$ .

$y = x^{2} + 4 x + 0$

Étape 3.5.2.2

Additionnez $x^{2} + 4 x$ et $0$ .

$y = x^{2} + 4 x$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 4 x$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = x^{2} + 4 x$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{x + 4} - 2$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = {(\sqrt{x + 4} - 2)}^{2} + 4 (\sqrt{x + 4} - 2)$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Réécrivez ${(\sqrt{x + 4} - 2)}^{2}$ comme $(\sqrt{x + 4} - 2) (\sqrt{x + 4} - 2)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = (\sqrt{x + 4} - 2) (\sqrt{x + 4} - 2) + 4 (\sqrt{x + 4} - 2)$

Étape 5.2.3.2

Développez $(\sqrt{x + 4} - 2) (\sqrt{x + 4} - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = \sqrt{x + 4} (\sqrt{x + 4} - 2) - 2 (\sqrt{x + 4} - 2) + 4 (\sqrt{x + 4} - 2)$

Étape 5.2.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = \sqrt{x + 4} \sqrt{x + 4} + \sqrt{x + 4} \cdot - 2 - 2 (\sqrt{x + 4} - 2) + 4 (\sqrt{x + 4} - 2)$

Étape 5.2.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = \sqrt{x + 4} \sqrt{x + 4} + \sqrt{x + 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 4} - 2 \cdot - 2 + 4 (\sqrt{x + 4} - 2)$

Étape 5.2.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.3.1.1

Multipliez $\sqrt{x + 4} \sqrt{x + 4}$ .

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Étape 5.2.3.3.1.1.1

Élevez $\sqrt{x + 4}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = \sqrt{x + 4} \sqrt{x + 4} + \sqrt{x + 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 4} - 2 \cdot - 2 + 4 (\sqrt{x + 4} - 2)$

Étape 5.2.3.3.1.1.2

Élevez $\sqrt{x + 4}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = \sqrt{x + 4} \sqrt{x + 4} + \sqrt{x + 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 4} - 2 \cdot - 2 + 4 (\sqrt{x + 4} - 2)$

Étape 5.2.3.3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = {\sqrt{x + 4}}^{1 + 1} + \sqrt{x + 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 4} - 2 \cdot - 2 + 4 (\sqrt{x + 4} - 2)$

Étape 5.2.3.3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = {\sqrt{x + 4}}^{2} + \sqrt{x + 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 4} - 2 \cdot - 2 + 4 (\sqrt{x + 4} - 2)$

Étape 5.2.3.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{x + 4}}^{2}$ comme $x + 4$ .

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Étape 5.2.3.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 4}$ comme ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = {({(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x + 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 4} - 2 \cdot - 2 + 4 (\sqrt{x + 4} - 2)$

Étape 5.2.3.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = {(x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x + 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 4} - 2 \cdot - 2 + 4 (\sqrt{x + 4} - 2)$

Étape 5.2.3.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = {(x + 4)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x + 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 4} - 2 \cdot - 2 + 4 (\sqrt{x + 4} - 2)$

Étape 5.2.3.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = {(x + 4)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x + 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 4} - 2 \cdot - 2 + 4 (\sqrt{x + 4} - 2)$

Étape 5.2.3.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = (x + 4) + \sqrt{x + 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 4} - 2 \cdot - 2 + 4 (\sqrt{x + 4} - 2)$

Étape 5.2.3.3.1.2.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = x + 4 + \sqrt{x + 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 4} - 2 \cdot - 2 + 4 (\sqrt{x + 4} - 2)$

Étape 5.2.3.3.1.3

Déplacez $- 2$ à gauche de $\sqrt{x + 4}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = x + 4 - 2 \cdot \sqrt{x + 4} - 2 \sqrt{x + 4} - 2 \cdot - 2 + 4 (\sqrt{x + 4} - 2)$

Étape 5.2.3.3.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = x + 4 - 2 \sqrt{x + 4} - 2 \sqrt{x + 4} + 4 + 4 (\sqrt{x + 4} - 2)$

Étape 5.2.3.3.2

Additionnez $4$ et $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = x + 8 - 2 \sqrt{x + 4} - 2 \sqrt{x + 4} + 4 (\sqrt{x + 4} - 2)$

Étape 5.2.3.3.3

Soustrayez $2 \sqrt{x + 4}$ de $- 2 \sqrt{x + 4}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = x + 8 - 4 \sqrt{x + 4} + 4 (\sqrt{x + 4} - 2)$

Étape 5.2.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = x + 8 - 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \cdot - 2$

Étape 5.2.3.5

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = x + 8 - 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} - 8$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x + 8 - 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} - 8$ .

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Étape 5.2.4.1

Additionnez $- 4 \sqrt{x + 4}$ et $4 \sqrt{x + 4}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = x + 8 + 0 - 8$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x + 8$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = x + 8 - 8$

Étape 5.2.4.3

Soustrayez $8$ de $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = x + 0$

Étape 5.2.4.4

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (x^{2} + 4 x)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (x^{2} + 4 x) = \sqrt{(x^{2} + 4 x) + 4} - 2$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.3.3.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (x^{2} + 4 x) = \sqrt{x^{2} + 4 x + 2^{2}} - 2$

Étape 5.3.3.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 5.3.3.1.3

Réécrivez le polynôme.

$f (x^{2} + 4 x) = \sqrt{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} - 2$

Étape 5.3.3.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$f (x^{2} + 4 x) = \sqrt{{(x + 2)}^{2}} - 2$

Étape 5.3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (x^{2} + 4 x) = x + 2 - 2$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x + 2 - 2$ .

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f (x^{2} + 4 x) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (x^{2} + 4 x) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = x^{2} + 4 x$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{x + 4} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 4 x$