Pré-calcul Exemples

$f (x) = \sqrt{4 x - 4}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \sqrt{4 x - 4}$ comme une équation.

$y = \sqrt{4 x - 4}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \sqrt{4 y - 4}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{4 y - 4} = x$ .

$\sqrt{4 y - 4} = x$

Étape 3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{4 y - 4}}^{2} = x^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 y - 4}$ comme ${(4 y - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${({(4 y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(4 y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(4 y - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(4 y - 4)}^{1} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

$4 y - 4 = x^{2}$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$4 y = x^{2} + 4$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $4 y = x^{2} + 4$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $4 y = x^{2} + 4$ par $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4}{4}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4}{4}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4}{4}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.3.1

Divisez $4$ par $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + 1$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + 1$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + 1$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{4 x - 4}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{{(\sqrt{4 x - 4})}^{2}}{4} + 1$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x - 4$ .

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Étape 5.2.3.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{{\sqrt{4 (x) - 4}}^{2}}{4} + 1$

Étape 5.2.3.1.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{{\sqrt{4 (x) + 4 (- 1)}}^{2}}{4} + 1$

Étape 5.2.3.1.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (x) + 4 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{{\sqrt{4 (x - 1)}}^{2}}{4} + 1$

Étape 5.2.3.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{{\sqrt{2^{2} (x - 1)}}^{2}}{4} + 1$

Étape 5.2.3.1.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{{(2 \sqrt{x - 1})}^{2}}{4} + 1$

Étape 5.2.3.1.4

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{2^{2} {\sqrt{x - 1}}^{2}}{4} + 1$

Étape 5.2.3.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 {\sqrt{x - 1}}^{2}}{4} + 1$

Étape 5.2.3.1.6

Réécrivez ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ comme $x - 1$ .

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Étape 5.2.3.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 1}$ comme ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + 1$

Étape 5.2.3.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + 1$

Étape 5.2.3.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 {(x - 1)}^{\frac{2}{2}}}{4} + 1$

Étape 5.2.3.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 {(x - 1)}^{\frac{2}{2}}}{4} + 1$

Étape 5.2.3.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 (x - 1)}{4} + 1$

Étape 5.2.3.1.6.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 (x - 1)}{4} + 1$

Étape 5.2.3.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 x + 4 \cdot - 1}{4} + 1$

Étape 5.2.3.1.8

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 x - 4}{4} + 1$

Étape 5.2.3.1.9

Factorisez $4$ à partir de $4 x - 4$ .

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Étape 5.2.3.1.9.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 (x) - 4}{4} + 1$

Étape 5.2.3.1.9.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 (x) + 4 (- 1)}{4} + 1$

Étape 5.2.3.1.9.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (x) + 4 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 (x - 1)}{4} + 1$

Étape 5.2.3.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 (x - 1)}{4} + 1$

Étape 5.2.3.2.2

Divisez $x - 1$ par $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = x - 1 + 1$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x - 1 + 1$ .

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Étape 5.2.4.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{x^{2}}{4} + 1)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} + 1) - 4}$

Étape 5.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (\frac{x^{2}}{4} + 1) - 4$ .

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Étape 5.3.3.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} + 1) + 4 (- 1)}$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $4$ à partir de $4 (\frac{x^{2}}{4} + 1) + 4 (- 1)$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} + 1 - 1)}$

Étape 5.3.4

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} + 0)}$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $\frac{x^{2}}{4}$ et $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4})}$

Étape 5.3.5

Associez $4$ et $\frac{x^{2}}{4}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{\frac{4 x^{2}}{4}}$

Étape 5.3.6

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.3.6.1

Réduisez l’expression $\frac{4 x^{2}}{4}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.3.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{\frac{4 x^{2}}{4}}$

Étape 5.3.6.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

Étape 5.3.6.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{x^{2}}$

Étape 5.3.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + 1$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{4 x - 4}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + 1$