Pré-calcul Exemples

$f (x) = \sqrt{8 x + 10}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \sqrt{8 x + 10}$ comme une équation.

$y = \sqrt{8 x + 10}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \sqrt{8 y + 10}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{8 y + 10} = x$ .

$\sqrt{8 y + 10} = x$

Étape 3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{8 y + 10}}^{2} = x^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{8 y + 10}$ comme ${(8 y + 10)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(8 y + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${({(8 y + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(8 y + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 y + 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(8 y + 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(8 y + 10)}^{1} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

$8 y + 10 = x^{2}$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$8 y = x^{2} - 10$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $8 y = x^{2} - 10$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $8 y = x^{2} - 10$ par $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 10}{8}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 y}{8} = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 10}{8}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 10}{8}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 10$ et $8$ .

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Étape 3.4.2.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 10$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{2 (- 5)}{8}$

Étape 3.4.2.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 4}$

Étape 3.4.2.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 4}$

Étape 3.4.2.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 5}{4}$

Étape 3.4.2.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{8 x + 10}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{(\sqrt{8 x + 10})}^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8 x + 10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{\sqrt{2 (4 x) + 10}}^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

Étape 5.2.3.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{\sqrt{2 (4 x) + 2 (5)}}^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

Étape 5.2.3.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (4 x) + 2 (5)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{\sqrt{2 (4 x + 5)}}^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

Étape 5.2.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{2 (4 x + 5)}}^{2}$ comme $2 (4 x + 5)$ .

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Étape 5.2.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 (4 x + 5)}$ comme ${(2 (4 x + 5))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{({(2 (4 x + 5))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

Étape 5.2.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{(2 (4 x + 5))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8} - \frac{5}{4}$

Étape 5.2.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{(2 (4 x + 5))}^{\frac{2}{2}}}{8} - \frac{5}{4}$

Étape 5.2.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{(2 (4 x + 5))}^{\frac{2}{2}}}{8} - \frac{5}{4}$

Étape 5.2.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x + 5)}{8} - \frac{5}{4}$

Étape 5.2.3.1.2.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x + 5)}{8} - \frac{5}{4}$

Étape 5.2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x) + 2 \cdot 5}{8} - \frac{5}{4}$

Étape 5.2.3.1.4

Multipliez $4$ par $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{8 x + 2 \cdot 5}{8} - \frac{5}{4}$

Étape 5.2.3.1.5

Multipliez $2$ par $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{8 x + 10}{8} - \frac{5}{4}$

Étape 5.2.3.1.6

Factorisez $2$ à partir de $8 x + 10$ .

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Étape 5.2.3.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $8 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x) + 10}{8} - \frac{5}{4}$

Étape 5.2.3.1.6.2

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x) + 2 (5)}{8} - \frac{5}{4}$

Étape 5.2.3.1.6.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (4 x) + 2 (5)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x + 5)}{8} - \frac{5}{4}$

Étape 5.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x + 5)}{2 \cdot 4} - \frac{5}{4}$

Étape 5.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x + 5)}{2 \cdot 4} - \frac{5}{4}$

Étape 5.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{4 x + 5}{4} - \frac{5}{4}$

Étape 5.2.4

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{4 x + 5 - 5}{4}$

Étape 5.2.4.2

Associez les termes opposés dans $4 x + 5 - 5$ .

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Étape 5.2.4.2.1

Soustrayez $5$ de $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{4 x + 0}{4}$

Étape 5.2.4.2.2

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{4 x}{4}$

Étape 5.2.4.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{4 x}{4}$

Étape 5.2.4.3.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{8 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) + 10}$

Étape 5.3.3

Factorisez $2$ à partir de $8 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) + 10$ .

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Étape 5.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $8 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4})$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4})) + 10}$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4})) + 2 (5)}$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (4 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4})) + 2 (5)$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) + 5)}$

Étape 5.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{8}) + 4 (- \frac{5}{4}) + 5)}$

Étape 5.3.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.5.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{4 (2)}) + 4 (- \frac{5}{4}) + 5)}$

Étape 5.3.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{4 \cdot 2}) + 4 (- \frac{5}{4}) + 5)}$

Étape 5.3.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 4 (- \frac{5}{4}) + 5)}$

Étape 5.3.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5}{4}$ dans le numérateur.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 4 (\frac{- 5}{4}) + 5)}$

Étape 5.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 4 (\frac{- 5}{4}) + 5)}$

Étape 5.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} - 5 + 5)}$

Étape 5.3.7

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 5.3.7.1

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 0)}$

Étape 5.3.7.2

Additionnez $\frac{x^{2}}{2}$ et $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2})}$

Étape 5.3.8

Associez $2$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{\frac{2 x^{2}}{2}}$

Étape 5.3.9

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.3.9.1

Réduisez l’expression $\frac{2 x^{2}}{2}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.3.9.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{\frac{2 x^{2}}{2}}$

Étape 5.3.9.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

Étape 5.3.9.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{x^{2}}$

Étape 5.3.10

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{8 x + 10}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}$