Pré-calcul Exemples

$f (x) = \sqrt{8 - x}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \sqrt{8 - x}$ comme une équation.

$y = \sqrt{8 - x}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \sqrt{8 - y}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{8 - y} = x$ .

$\sqrt{8 - y} = x$

Étape 3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{8 - y}}^{2} = x^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{8 - y}$ comme ${(8 - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${({(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(8 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(8 - y)}^{1} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

$8 - y = x^{2}$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$- y = x^{2} - 8$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $- y = x^{2} - 8$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $- y = x^{2} - 8$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Étape 3.4.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

Étape 3.4.2.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

Étape 3.4.2.3.1.3

Divisez $- 8$ par $- 1$ .

$y = - x^{2} + 8$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = - x^{2} + 8$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - x^{2} + 8$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{8 - x}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt{8 - x})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - {(\sqrt{8 - x})}^{2} + 8$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Réécrivez ${\sqrt{8 - x}}^{2}$ comme $8 - x$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{8 - x}$ comme ${(8 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - {({(8 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 8$

Étape 5.2.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - {(8 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 8$

Étape 5.2.3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - {(8 - x)}^{\frac{2}{2}} + 8$

Étape 5.2.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - {(8 - x)}^{\frac{2}{2}} + 8$

Étape 5.2.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - (8 - x) + 8$

Étape 5.2.3.1.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - (8 - x) + 8$

Étape 5.2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - 1 \cdot 8 + x + 8$

Étape 5.2.3.3

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - 8 + x + 8$

Étape 5.2.3.4

Multipliez $- - x$ .

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Étape 5.2.3.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - 8 + 1 x + 8$

Étape 5.2.3.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - 8 + x + 8$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $- 8 + x + 8$ .

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Étape 5.2.4.1

Additionnez $- 8$ et $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (- x^{2} + 8)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- x^{2} + 8) = \sqrt{8 - (- x^{2} + 8)}$

Étape 5.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- x^{2} + 8) = \sqrt{8 + x^{2} - 1 \cdot 8}$

Étape 5.3.4

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f (- x^{2} + 8) = \sqrt{8 + x^{2} - 8}$

Étape 5.3.5

Soustrayez $8$ de $8$ .

$f (- x^{2} + 8) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Étape 5.3.6

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$f (- x^{2} + 8) = \sqrt{x^{2}}$

Étape 5.3.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- x^{2} + 8) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - x^{2} + 8$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{8 - x}$ .

$f^{- 1} (x) = - x^{2} + 8$