Pré-calcul Exemples

$f (x) = \sqrt{2 x - 5}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \sqrt{2 x - 5}$ comme une équation.

$y = \sqrt{2 x - 5}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \sqrt{2 y - 5}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{2 y - 5} = x$ .

$\sqrt{2 y - 5} = x$

Étape 3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{2 y - 5}}^{2} = x^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 y - 5}$ comme ${(2 y - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${({(2 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 y - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 y - 5)}^{1} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

$2 y - 5 = x^{2}$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y = x^{2} + 5$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $2 y = x^{2} + 5$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 y = x^{2} + 5$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{2 x - 5}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{{(\sqrt{2 x - 5})}^{2}}{2} + \frac{5}{2}$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{{(\sqrt{2 x - 5})}^{2} + 5}{2}$

Étape 5.2.4

Réécrivez ${\sqrt{2 x - 5}}^{2}$ comme $2 x - 5$ .

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Étape 5.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x - 5}$ comme ${(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{{({(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5}{2}$

Étape 5.2.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{{(2 x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 5}{2}$

Étape 5.2.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{{(2 x - 5)}^{\frac{2}{2}} + 5}{2}$

Étape 5.2.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{{(2 x - 5)}^{\frac{2}{2}} + 5}{2}$

Étape 5.2.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{(2 x - 5) + 5}{2}$

Étape 5.2.4.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{2 x - 5 + 5}{2}$

Étape 5.2.5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.5.1

Associez les termes opposés dans $2 x - 5 + 5$ .

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Étape 5.2.5.1.1

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Étape 5.2.5.1.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.5.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}) - 5}$

Étape 5.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (\frac{5}{2}) - 5}$

Étape 5.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (\frac{5}{2}) - 5}$

Étape 5.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}) = \sqrt{x^{2} + 2 (\frac{5}{2}) - 5}$

Étape 5.3.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}) = \sqrt{x^{2} + 2 (\frac{5}{2}) - 5}$

Étape 5.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}) = \sqrt{x^{2} + 5 - 5}$

Étape 5.3.6

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 5.3.6.1

Soustrayez $5$ de $5$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Étape 5.3.6.2

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}) = \sqrt{x^{2}}$

Étape 5.3.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{2 x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}$