Pré-calcul Exemples

$f (x) = \sqrt{4 - 5 x}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \sqrt{4 - 5 x}$ comme une équation.

$y = \sqrt{4 - 5 x}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \sqrt{4 - 5 y}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{4 - 5 y} = x$ .

$\sqrt{4 - 5 y} = x$

Étape 3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{4 - 5 y}}^{2} = x^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 - 5 y}$ comme ${(4 - 5 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 - 5 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${({(4 - 5 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(4 - 5 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 - 5 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(4 - 5 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(4 - 5 y)}^{1} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

$4 - 5 y = x^{2}$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- 5 y = x^{2} - 4$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $- 5 y = x^{2} - 4$ par $- 5$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $- 5 y = x^{2} - 4$ par $- 5$ .

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{x^{2}}{- 5} + \frac{- 4}{- 5}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 5$ .

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Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{x^{2}}{- 5} + \frac{- 4}{- 5}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{- 5} + \frac{- 4}{- 5}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{- 4}{- 5}$

Étape 3.4.2.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{4 - 5 x}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = - \frac{{(\sqrt{4 - 5 x})}^{2}}{5} + \frac{4}{5}$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- {(\sqrt{4 - 5 x})}^{2} + 4}{5}$

Étape 5.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.1

Réécrivez ${\sqrt{4 - 5 x}}^{2}$ comme $4 - 5 x$ .

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Étape 5.2.4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 - 5 x}$ comme ${(4 - 5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- {({(4 - 5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4}{5}$

Étape 5.2.4.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- {(4 - 5 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4}{5}$

Étape 5.2.4.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- {(4 - 5 x)}^{\frac{2}{2}} + 4}{5}$

Étape 5.2.4.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- {(4 - 5 x)}^{\frac{2}{2}} + 4}{5}$

Étape 5.2.4.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- (4 - 5 x) + 4}{5}$

Étape 5.2.4.1.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- (4 - 5 x) + 4}{5}$

Étape 5.2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- 1 \cdot 4 - (- 5 x) + 4}{5}$

Étape 5.2.4.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- 4 - (- 5 x) + 4}{5}$

Étape 5.2.4.4

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- 4 + 5 x + 4}{5}$

Étape 5.2.5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.5.1

Associez les termes opposés dans $- 4 + 5 x + 4$ .

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Étape 5.2.5.1.1

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{5 x + 0}{5}$

Étape 5.2.5.1.2

Additionnez $5 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{5 x}{5}$

Étape 5.2.5.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{5 x}{5}$

Étape 5.2.5.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 - 5 (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5})}$

Étape 5.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 - 5 (- \frac{x^{2}}{5}) - 5 (\frac{4}{5})}$

Étape 5.3.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x^{2}}{5}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 - 5 \frac{- x^{2}}{5} - 5 (\frac{4}{5})}$

Étape 5.3.4.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 + 5 (- 1) (\frac{- x^{2}}{5}) - 5 (\frac{4}{5})}$

Étape 5.3.4.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 + 5 \cdot (- 1 \frac{- x^{2}}{5}) - 5 (\frac{4}{5})}$

Étape 5.3.4.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 - 1 (- x^{2}) - 5 (\frac{4}{5})}$

Étape 5.3.5

Multipliez.

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Étape 5.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 + 1 x^{2} - 5 (\frac{4}{5})}$

Étape 5.3.5.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 + x^{2} - 5 (\frac{4}{5})}$

Étape 5.3.6

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.6.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 + x^{2} + 5 (- 1) (\frac{4}{5})}$

Étape 5.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 + x^{2} + 5 \cdot (- 1 (\frac{4}{5}))}$

Étape 5.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 + x^{2} - 1 \cdot 4}$

Étape 5.3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.7.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 + x^{2} - 4}$

Étape 5.3.7.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Étape 5.3.7.3

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{x^{2}}$

Étape 5.3.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{4 - 5 x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}$