Pré-calcul Exemples

$f (x) = \sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ comme une équation.

$y = \sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \sqrt{\frac{y + 3}{y - 2}}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez l’équation par $y - 2$ .

$(y - 2) (x) = (\sqrt{\frac{y + 3}{y - 2}}) (y - 2)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y x - 2 x = (\sqrt{\frac{y + 3}{y - 2}}) (y - 2)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez $(\sqrt{\frac{y + 3}{y - 2}}) (y - 2)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{y + 3}{y - 2}}$ comme $\frac{\sqrt{y + 3}}{\sqrt{y - 2}}$ .

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{y + 3}}{\sqrt{y - 2}} (y - 2)$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{y + 3}}{\sqrt{y - 2}}$ par $\frac{\sqrt{y - 2}}{\sqrt{y - 2}}$ .

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{y + 3}}{\sqrt{y - 2}} \cdot \frac{\sqrt{y - 2}}{\sqrt{y - 2}} (y - 2)$

Étape 3.3.1.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.1.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{y + 3}}{\sqrt{y - 2}}$ par $\frac{\sqrt{y - 2}}{\sqrt{y - 2}}$ .

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{y + 3} \sqrt{y - 2}}{\sqrt{y - 2} \sqrt{y - 2}} (y - 2)$

Étape 3.3.1.3.2

Élevez $\sqrt{y - 2}$ à la puissance $1$ .

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{y + 3} \sqrt{y - 2}}{{\sqrt{y - 2}}^{1} \sqrt{y - 2}} (y - 2)$

Étape 3.3.1.3.3

Élevez $\sqrt{y - 2}$ à la puissance $1$ .

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{y + 3} \sqrt{y - 2}}{{\sqrt{y - 2}}^{1} {\sqrt{y - 2}}^{1}} (y - 2)$

Étape 3.3.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{y + 3} \sqrt{y - 2}}{{\sqrt{y - 2}}^{1 + 1}} (y - 2)$

Étape 3.3.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{y + 3} \sqrt{y - 2}}{{\sqrt{y - 2}}^{2}} (y - 2)$

Étape 3.3.1.3.6

Réécrivez ${\sqrt{y - 2}}^{2}$ comme $y - 2$ .

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Étape 3.3.1.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y - 2}$ comme ${(y - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{y + 3} \sqrt{y - 2}}{{({(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (y - 2)$

Étape 3.3.1.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{y + 3} \sqrt{y - 2}}{{(y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (y - 2)$

Étape 3.3.1.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{y + 3} \sqrt{y - 2}}{{(y - 2)}^{\frac{2}{2}}} (y - 2)$

Étape 3.3.1.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{y + 3} \sqrt{y - 2}}{{(y - 2)}^{\frac{2}{2}}} (y - 2)$

Étape 3.3.1.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{y + 3} \sqrt{y - 2}}{{(y - 2)}^{1}} (y - 2)$

Étape 3.3.1.3.6.5

Simplifiez

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{y + 3} \sqrt{y - 2}}{y - 2} (y - 2)$

Étape 3.3.1.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{(y + 3) (y - 2)}}{y - 2} (y - 2)$

Étape 3.3.1.5

Annulez le facteur commun de $y - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$y x - 2 x = \frac{\sqrt{(y + 3) (y - 2)}}{y - 2} (y - 2)$

Étape 3.3.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$y x - 2 x = \sqrt{(y + 3) (y - 2)}$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$\sqrt{(y + 3) (y - 2)} = y x - 2 x$

Étape 3.4.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{(y + 3) (y - 2)}}^{2} = {(y x - 2 x)}^{2}$

Étape 3.4.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.4.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(y + 3) (y - 2)}$ comme ${((y + 3) (y - 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((y + 3) (y - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y x - 2 x)}^{2}$

Étape 3.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.3.2.1

Simplifiez ${({((y + 3) (y - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({((y + 3) (y - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((y + 3) (y - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y x - 2 x)}^{2}$

Étape 3.4.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${((y + 3) (y - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y x - 2 x)}^{2}$

Étape 3.4.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${((y + 3) (y - 2))}^{1} = {(y x - 2 x)}^{2}$

Étape 3.4.3.2.1.2

Développez $(y + 3) (y - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

${(y (y - 2) + 3 (y - 2))}^{1} = {(y x - 2 x)}^{2}$

Étape 3.4.3.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

${(y \cdot y + y \cdot - 2 + 3 (y - 2))}^{1} = {(y x - 2 x)}^{2}$

Étape 3.4.3.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

${(y \cdot y + y \cdot - 2 + 3 y + 3 \cdot - 2)}^{1} = {(y x - 2 x)}^{2}$

Étape 3.4.3.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.2.1.3.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

${(y^{2} + y \cdot - 2 + 3 y + 3 \cdot - 2)}^{1} = {(y x - 2 x)}^{2}$

Étape 3.4.3.2.1.3.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $y$ .

${(y^{2} - 2 \cdot y + 3 y + 3 \cdot - 2)}^{1} = {(y x - 2 x)}^{2}$

Étape 3.4.3.2.1.3.1.3

Multipliez $3$ par $- 2$ .

${(y^{2} - 2 y + 3 y - 6)}^{1} = {(y x - 2 x)}^{2}$

Étape 3.4.3.2.1.3.2

Additionnez $- 2 y$ et $3 y$ .

${(y^{2} + y - 6)}^{1} = {(y x - 2 x)}^{2}$

Étape 3.4.3.2.1.4

Simplifiez

$y^{2} + y - 6 = {(y x - 2 x)}^{2}$

Étape 3.4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.3.1

Simplifiez ${(y x - 2 x)}^{2}$ .

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Étape 3.4.3.3.1.1

Réécrivez ${(y x - 2 x)}^{2}$ comme $(y x - 2 x) (y x - 2 x)$ .

$y^{2} + y - 6 = (y x - 2 x) (y x - 2 x)$

Étape 3.4.3.3.1.2

Développez $(y x - 2 x) (y x - 2 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} + y - 6 = y x (y x - 2 x) - 2 x (y x - 2 x)$

Étape 3.4.3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} + y - 6 = y x (y x) + y x (- 2 x) - 2 x (y x - 2 x)$

Étape 3.4.3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} + y - 6 = y x (y x) + y x (- 2 x) - 2 x (y x) - 2 x (- 2 x)$

Étape 3.4.3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.3.1.3.1.1

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.3.1.3.1.1.1

Déplacez $y$ .

$y^{2} + y - 6 = y \cdot y x \cdot x + y x (- 2 x) - 2 x (y x) - 2 x (- 2 x)$

Étape 3.4.3.3.1.3.1.1.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$y^{2} + y - 6 = y^{2} x \cdot x + y x (- 2 x) - 2 x (y x) - 2 x (- 2 x)$

Étape 3.4.3.3.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.3.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$y^{2} + y - 6 = y^{2} (x \cdot x) + y x (- 2 x) - 2 x (y x) - 2 x (- 2 x)$

Étape 3.4.3.3.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y^{2} + y - 6 = y^{2} x^{2} + y x (- 2 x) - 2 x (y x) - 2 x (- 2 x)$

Étape 3.4.3.3.1.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y^{2} + y - 6 = y^{2} x^{2} - 2 y x \cdot x - 2 x (y x) - 2 x (- 2 x)$

Étape 3.4.3.3.1.3.1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.3.1.3.1.4.1

Déplacez $x$ .

$y^{2} + y - 6 = y^{2} x^{2} - 2 y (x \cdot x) - 2 x (y x) - 2 x (- 2 x)$

Étape 3.4.3.3.1.3.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y^{2} + y - 6 = y^{2} x^{2} - 2 y x^{2} - 2 x (y x) - 2 x (- 2 x)$

Étape 3.4.3.3.1.3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.3.1.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$y^{2} + y - 6 = y^{2} x^{2} - 2 y x^{2} - 2 (x \cdot x) y - 2 x (- 2 x)$

Étape 3.4.3.3.1.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y^{2} + y - 6 = y^{2} x^{2} - 2 y x^{2} - 2 x^{2} y - 2 x (- 2 x)$

Étape 3.4.3.3.1.3.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y^{2} + y - 6 = y^{2} x^{2} - 2 y x^{2} - 2 x^{2} y - 2 \cdot - 2 x \cdot x$

Étape 3.4.3.3.1.3.1.7

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.3.1.3.1.7.1

Déplacez $x$ .

$y^{2} + y - 6 = y^{2} x^{2} - 2 y x^{2} - 2 x^{2} y - 2 \cdot - 2 (x \cdot x)$

Étape 3.4.3.3.1.3.1.7.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y^{2} + y - 6 = y^{2} x^{2} - 2 y x^{2} - 2 x^{2} y - 2 \cdot - 2 x^{2}$

Étape 3.4.3.3.1.3.1.8

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$y^{2} + y - 6 = y^{2} x^{2} - 2 y x^{2} - 2 x^{2} y + 4 x^{2}$

Étape 3.4.3.3.1.3.2

Soustrayez $2 x^{2} y$ de $- 2 y x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.3.1.3.2.1

Déplacez $y$ .

$y^{2} + y - 6 = y^{2} x^{2} - 2 x^{2} y - 2 x^{2} y + 4 x^{2}$

Étape 3.4.3.3.1.3.2.2

Soustrayez $2 x^{2} y$ de $- 2 x^{2} y$ .

$y^{2} + y - 6 = y^{2} x^{2} - 4 x^{2} y + 4 x^{2}$

Étape 3.4.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.4.1

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.4.4.1.1

Soustrayez $y^{2} x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} + y - 6 - y^{2} x^{2} = - 4 x^{2} y + 4 x^{2}$

Étape 3.4.4.1.2

Ajoutez $4 x^{2} y$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{2} + y - 6 - y^{2} x^{2} + 4 x^{2} y = 4 x^{2}$

Étape 3.4.4.2

Soustrayez $4 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} + y - 6 - y^{2} x^{2} + 4 x^{2} y - 4 x^{2} = 0$

Étape 3.4.4.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.4.4.4

Remplacez les valeurs $a = 1 - x^{2}$ , $b = 1 + 4 x^{2}$ et $c = - 6 - 4 x^{2}$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- (1 + 4 x^{2}) \pm \sqrt{{(1 + 4 x^{2})}^{2} - 4 \cdot ((1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2}))}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 1 \cdot 1 - (4 x^{2}) \pm \sqrt{{(1 + 4 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = \frac{- 1 - (4 x^{2}) \pm \sqrt{{(1 + 4 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.5.1.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{{(1 + 4 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.5.1.4

Réécrivez ${(1 + 4 x^{2})}^{2}$ comme $(1 + 4 x^{2}) (1 + 4 x^{2})$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{(1 + 4 x^{2}) (1 + 4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.5.1.5

Développez $(1 + 4 x^{2}) (1 + 4 x^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.5.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 (1 + 4 x^{2}) + 4 x^{2} (1 + 4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.5.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 4 x^{2} (1 + 4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.5.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 + 4 x^{2} (4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.5.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.5.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.5.1.6.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 1 (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 + 4 x^{2} (4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.5.1.6.1.2

Multipliez $4 x^{2}$ par $1$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} \cdot 1 + 4 x^{2} (4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.5.1.6.1.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 x^{2} (4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.5.1.6.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot (4 x^{2} x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.5.1.6.1.5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.5.1.6.1.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot (4 (x^{2} x^{2})) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.5.1.6.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot (4 x^{2 + 2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.5.1.6.1.5.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot (4 x^{4}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.5.1.6.1.6

Multipliez $4$ par $4$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 16 x^{4} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.5.1.6.2

Additionnez $4 x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.5.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + (- 4 \cdot 1 - 4 (- x^{2})) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.5.1.8

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + (- 4 - 4 (- x^{2})) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.5.1.9

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + (- 4 + 4 x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.5.1.10

Développez $(- 4 + 4 x^{2}) (- 6 - 4 x^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.5.1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} - 4 (- 6 - 4 x^{2}) + 4 x^{2} (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.5.1.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} - 4 \cdot - 6 - 4 (- 4 x^{2}) + 4 x^{2} (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.5.1.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} - 4 \cdot - 6 - 4 (- 4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 6 + 4 x^{2} (- 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.5.1.11

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.5.1.11.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.5.1.11.1.1

Multipliez $- 4$ par $- 6$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 - 4 (- 4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 6 + 4 x^{2} (- 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.5.1.11.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} + 4 x^{2} \cdot - 6 + 4 x^{2} (- 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.5.1.11.1.3

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 x^{2} (- 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.5.1.11.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 \cdot (- 4 x^{2} x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.5.1.11.1.5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.5.1.11.1.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 \cdot (- 4 (x^{2} x^{2}))}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.5.1.11.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 \cdot (- 4 x^{2 + 2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.5.1.11.1.5.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 \cdot (- 4 x^{4})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.5.1.11.1.6

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.5.1.11.2

Soustrayez $24 x^{2}$ de $16 x^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 - 8 x^{2} - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.5.1.12

Additionnez $1$ et $24$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{8 x^{2} + 16 x^{4} + 25 - 8 x^{2} - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.5.1.13

Soustrayez $8 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{16 x^{4} + 25 + 0 - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.5.1.14

Additionnez $16 x^{4}$ et $0$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{16 x^{4} + 25 - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.5.1.15

Soustrayez $16 x^{4}$ de $16 x^{4}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{0 + 25}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.5.1.16

Additionnez $0$ et $25$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{25}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.5.1.17

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{5^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.5.1.18

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm 5}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.5.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.5.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm 5}{2 (1^{2} - x^{2})}$

Étape 3.4.4.5.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm 5}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Étape 3.4.4.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.6.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 1 \cdot 1 - (4 x^{2}) \pm \sqrt{{(1 + 4 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.6.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = \frac{- 1 - (4 x^{2}) \pm \sqrt{{(1 + 4 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.6.1.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{{(1 + 4 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.6.1.4

Réécrivez ${(1 + 4 x^{2})}^{2}$ comme $(1 + 4 x^{2}) (1 + 4 x^{2})$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{(1 + 4 x^{2}) (1 + 4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.6.1.5

Développez $(1 + 4 x^{2}) (1 + 4 x^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.6.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 (1 + 4 x^{2}) + 4 x^{2} (1 + 4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.6.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 4 x^{2} (1 + 4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.6.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 + 4 x^{2} (4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.6.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.4.4.6.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.4.6.1.6.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 1 (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 + 4 x^{2} (4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.6.1.6.1.2

Multipliez $4 x^{2}$ par $1$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} \cdot 1 + 4 x^{2} (4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.6.1.6.1.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 x^{2} (4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.6.1.6.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot (4 x^{2} x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.6.1.6.1.5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.6.1.6.1.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot (4 (x^{2} x^{2})) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.6.1.6.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot (4 x^{2 + 2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.6.1.6.1.5.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot (4 x^{4}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.6.1.6.1.6

Multipliez $4$ par $4$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 16 x^{4} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.6.1.6.2

Additionnez $4 x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.6.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + (- 4 \cdot 1 - 4 (- x^{2})) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.6.1.8

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + (- 4 - 4 (- x^{2})) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.6.1.9

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + (- 4 + 4 x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.6.1.10

Développez $(- 4 + 4 x^{2}) (- 6 - 4 x^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.4.4.6.1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} - 4 (- 6 - 4 x^{2}) + 4 x^{2} (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.6.1.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} - 4 \cdot - 6 - 4 (- 4 x^{2}) + 4 x^{2} (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.6.1.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} - 4 \cdot - 6 - 4 (- 4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 6 + 4 x^{2} (- 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.6.1.11

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.6.1.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.4.6.1.11.1.1

Multipliez $- 4$ par $- 6$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 - 4 (- 4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 6 + 4 x^{2} (- 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.6.1.11.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} + 4 x^{2} \cdot - 6 + 4 x^{2} (- 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.6.1.11.1.3

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 x^{2} (- 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.6.1.11.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 \cdot (- 4 x^{2} x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.6.1.11.1.5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.4.6.1.11.1.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 \cdot (- 4 (x^{2} x^{2}))}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.6.1.11.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 \cdot (- 4 x^{2 + 2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.6.1.11.1.5.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 \cdot (- 4 x^{4})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.6.1.11.1.6

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.6.1.11.2

Soustrayez $24 x^{2}$ de $16 x^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 - 8 x^{2} - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.6.1.12

Additionnez $1$ et $24$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{8 x^{2} + 16 x^{4} + 25 - 8 x^{2} - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.6.1.13

Soustrayez $8 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{16 x^{4} + 25 + 0 - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.6.1.14

Additionnez $16 x^{4}$ et $0$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{16 x^{4} + 25 - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.6.1.15

Soustrayez $16 x^{4}$ de $16 x^{4}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{0 + 25}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.6.1.16

Additionnez $0$ et $25$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{25}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.6.1.17

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{5^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.6.1.18

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm 5}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.4.6.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm 5}{2 (1^{2} - x^{2})}$

Étape 3.4.4.6.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm 5}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Étape 3.4.4.6.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} + 5}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Étape 3.4.4.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.4.6.4.1

Additionnez $- 1$ et $5$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} + 4}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Étape 3.4.4.6.4.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2} + 4$ .

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Étape 3.4.4.6.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{4 (- x^{2}) + 4}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Étape 3.4.4.6.4.2.2

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$y = \frac{4 (- x^{2}) + 4 (1)}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Étape 3.4.4.6.4.2.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{2}) + 4 (1)$ .

$y = \frac{4 (- x^{2} + 1)}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Étape 3.4.4.6.4.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \frac{4 (- x^{2} + 1^{2})}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Étape 3.4.4.6.4.4

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $1^{2}$ .

$y = \frac{4 (1^{2} - x^{2})}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Étape 3.4.4.6.4.5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$y = \frac{4 (1 + x) (1 - x)}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Étape 3.4.4.6.5

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 3.4.4.6.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4 (1 + x) (1 - x)$ .

$y = \frac{2 (2 (1 + x) (1 - x))}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Étape 3.4.4.6.5.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 (2 (1 + x) (1 - x))}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Étape 3.4.4.6.5.3

Réécrivez l’expression.

$y = 2$

Étape 3.4.4.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.4.4.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.4.7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 1 \cdot 1 - (4 x^{2}) \pm \sqrt{{(1 + 4 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.7.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = \frac{- 1 - (4 x^{2}) \pm \sqrt{{(1 + 4 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.7.1.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{{(1 + 4 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.7.1.4

Réécrivez ${(1 + 4 x^{2})}^{2}$ comme $(1 + 4 x^{2}) (1 + 4 x^{2})$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{(1 + 4 x^{2}) (1 + 4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.7.1.5

Développez $(1 + 4 x^{2}) (1 + 4 x^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.7.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 (1 + 4 x^{2}) + 4 x^{2} (1 + 4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.7.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 4 x^{2} (1 + 4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.7.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 + 4 x^{2} (4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.7.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.4.4.7.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.4.7.1.6.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 1 (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 + 4 x^{2} (4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.7.1.6.1.2

Multipliez $4 x^{2}$ par $1$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} \cdot 1 + 4 x^{2} (4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.7.1.6.1.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 x^{2} (4 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.7.1.6.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot (4 x^{2} x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.7.1.6.1.5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.4.7.1.6.1.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot (4 (x^{2} x^{2})) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.7.1.6.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot (4 x^{2 + 2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.7.1.6.1.5.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot (4 x^{4}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.7.1.6.1.6

Multipliez $4$ par $4$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 16 x^{4} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.7.1.6.2

Additionnez $4 x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.7.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + (- 4 \cdot 1 - 4 (- x^{2})) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.7.1.8

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + (- 4 - 4 (- x^{2})) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.7.1.9

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + (- 4 + 4 x^{2}) \cdot (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.7.1.10

Développez $(- 4 + 4 x^{2}) (- 6 - 4 x^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.4.4.7.1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} - 4 (- 6 - 4 x^{2}) + 4 x^{2} (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.7.1.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} - 4 \cdot - 6 - 4 (- 4 x^{2}) + 4 x^{2} (- 6 - 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.7.1.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} - 4 \cdot - 6 - 4 (- 4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 6 + 4 x^{2} (- 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.7.1.11

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.4.4.7.1.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.4.7.1.11.1.1

Multipliez $- 4$ par $- 6$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 - 4 (- 4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 6 + 4 x^{2} (- 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.7.1.11.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} + 4 x^{2} \cdot - 6 + 4 x^{2} (- 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.7.1.11.1.3

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 x^{2} (- 4 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.7.1.11.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 \cdot (- 4 x^{2} x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.7.1.11.1.5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.7.1.11.1.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 \cdot (- 4 (x^{2} x^{2}))}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.7.1.11.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 \cdot (- 4 x^{2 + 2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.7.1.11.1.5.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} + 4 \cdot (- 4 x^{4})}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.7.1.11.1.6

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 + 16 x^{2} - 24 x^{2} - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.7.1.11.2

Soustrayez $24 x^{2}$ de $16 x^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{1 + 8 x^{2} + 16 x^{4} + 24 - 8 x^{2} - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.7.1.12

Additionnez $1$ et $24$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{8 x^{2} + 16 x^{4} + 25 - 8 x^{2} - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.7.1.13

Soustrayez $8 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{16 x^{4} + 25 + 0 - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.7.1.14

Additionnez $16 x^{4}$ et $0$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{16 x^{4} + 25 - 16 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.7.1.15

Soustrayez $16 x^{4}$ de $16 x^{4}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{0 + 25}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.7.1.16

Additionnez $0$ et $25$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{25}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.7.1.17

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm \sqrt{5^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.7.1.18

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm 5}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.4.4.7.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.4.7.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm 5}{2 (1^{2} - x^{2})}$

Étape 3.4.4.7.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} \pm 5}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Étape 3.4.4.7.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{- 1 - 4 x^{2} - 5}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Étape 3.4.4.7.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.4.7.4.1

Soustrayez $5$ de $- 1$ .

$y = \frac{- 4 x^{2} - 6}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Étape 3.4.4.7.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x^{2} - 6$ .

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Étape 3.4.4.7.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 (- 2 x^{2}) - 6}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Étape 3.4.4.7.4.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$y = \frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 (- 3)}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Étape 3.4.4.7.4.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 2 x^{2}) + 2 (- 3)$ .

$y = \frac{2 (- 2 x^{2} - 3)}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Étape 3.4.4.7.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.4.7.5.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 (- 2 x^{2} - 3)}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Étape 3.4.4.7.5.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{- 2 x^{2} - 3}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 3.4.4.7.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$y = \frac{- (2 x^{2}) - 3}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 3.4.4.7.7

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$y = \frac{- (2 x^{2}) - 1 \cdot 3}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 3.4.4.7.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{2}) - 1 (3)$ .

$y = \frac{- (2 x^{2} + 3)}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 3.4.4.7.9

Réécrivez $- (2 x^{2} + 3)$ comme $- 1 (2 x^{2} + 3)$ .

$y = \frac{- 1 (2 x^{2} + 3)}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 3.4.4.7.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{2 x^{2} + 3}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 3.4.4.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = 2$

$y = - \frac{2 x^{2} + 3}{(1 + x) (1 - x)}$

$y = 2$

$y = - \frac{2 x^{2} + 3}{(1 + x) (1 - x)}$

$y = 2$

$y = - \frac{2 x^{2} + 3}{(1 + x) (1 - x)}$

$y = 2$

$y = - \frac{2 x^{2} + 3}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = 2, - \frac{2 x^{2} + 3}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 2, - \frac{2 x^{2} + 3}{(1 + x) (1 - x)}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = \sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ et $f^{- 1} (x) = 2, - \frac{2 x^{2} + 3}{(1 + x) (1 - x)}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (x) = \sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[0, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 5.3

Find the domain of the inverse.

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Étape 5.3.1

Déterminez le domaine de $2$ .

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Étape 5.3.1.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 5.3.2

Déterminez le domaine de $- \frac{2 x^{2} + 3}{(1 + x) (1 - x)}$ .

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Étape 5.3.2.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x^{2} + 3}{(1 + x) (1 - x)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(1 + x) (1 - x) = 0$

Étape 5.3.2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Étape 5.3.2.2.2

Définissez $1 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.2.2.1

Définissez $1 + x$ égal à $0$ .

$1 + x = 0$

Étape 5.3.2.2.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 5.3.2.2.3

Définissez $1 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.2.3.1

Définissez $1 - x$ égal à $0$ .

$1 - x = 0$

Étape 5.3.2.2.3.2

Résolvez $1 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.3.2.2.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 1$

Étape 5.3.2.2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 5.3.2.2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.2.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 5.3.2.2.3.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 5.3.2.2.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.2.3.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1$

Étape 5.3.2.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(1 + x) (1 - x) = 0$ vraie.

$x = - 1, 1$

Étape 5.3.2.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 5.3.3

Déterminez l’union de $(- \infty, \infty), (- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$ .

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Étape 5.3.3.1

L’union se compose de tous les éléments contenus dans chaque intervalle.

$(- \infty, \infty)$

Étape 5.4

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = 2, - \frac{2 x^{2} + 3}{(1 + x) (1 - x)}$ n’est pas égal à la plage de $f (x) = \sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ , $f^{- 1} (x) = 2, - \frac{2 x^{2} + 3}{(1 + x) (1 - x)}$ n’est pas un inverse de $f (x) = \sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ .

Il n’y a pas d’inverse

Étape 6