Pré-calcul Exemples

$f (x) = 6 \log (x) - 3$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 6 \log (x) - 3$ comme une équation.

$y = 6 \log (x) - 3$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 6 \log (y) - 3$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $6 \log (y) - 3 = x$ .

$6 \log (y) - 3 = x$

Étape 3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$6 \log (y) = x + 3$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $6 \log (y) = x + 3$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $6 \log (y) = x + 3$ par $6$ .

$\frac{6 \log (y)}{6} = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 \log (y)}{6} = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $\log (y)$ par $1$ .

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

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Étape 3.3.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{3 (1)}{6}$

Étape 3.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Étape 3.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Étape 3.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{1}{2}$

Étape 3.4

Réécrivez $\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{1}{2}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}} = y$

Étape 3.5

Réécrivez l’équation comme $y = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$ .

$y = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$ est l’inverse de $f (x) = 6 \log (x) - 3$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (6 \log (x) - 3)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{6 \log (x) - 3}{6} + \frac{1}{2}}$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun à $6 \log (x) - 3$ et $6$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6 \log (x)$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x)) - 3}{6} + \frac{1}{2}}$

Étape 5.2.3.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x)) + 3 (- 1)}{6} + \frac{1}{2}}$

Étape 5.2.3.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (2 \log (x)) + 3 (- 1)$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x) - 1)}{6} + \frac{1}{2}}$

Étape 5.2.3.1.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x) - 1)}{3 (2)} + \frac{1}{2}}$

Étape 5.2.3.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x) - 1)}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2}}$

Étape 5.2.3.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{2 \log (x) - 1}{2} + \frac{1}{2}}$

Étape 5.2.3.2

Simplifiez $2 \log (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{\log (x^{2}) - 1}{2} + \frac{1}{2}}$

Étape 5.2.4

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{\log (x^{2}) - 1 + 1}{2}}$

Étape 5.2.4.2

Associez les termes opposés dans $\log (x^{2}) - 1 + 1$ .

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Étape 5.2.4.2.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{\log (x^{2}) + 0}{2}}$

Étape 5.2.4.2.2

Additionnez $\log (x^{2})$ et $0$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{\log (x^{2})}{2}}$

Étape 5.2.5

Développez $\log (x^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{2 \log (x)}{2}}$

Étape 5.2.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{2 \log (x)}{2}}$

Étape 5.2.6.2

Divisez $\log (x)$ par $1$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\log (x)}$

Étape 5.2.7

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 \log (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) - 3$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $\frac{x}{6} + \frac{1}{2}$ de l’exposant.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 ((\frac{x}{6} + \frac{1}{2}) \log (10)) - 3$

Étape 5.3.3.2

La base logarithmique $10$ de $10$ est $1$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 ((\frac{x}{6} + \frac{1}{2}) \cdot 1) - 3$

Étape 5.3.3.3

Multipliez $\frac{x}{6} + \frac{1}{2}$ par $1$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 (\frac{x}{6} + \frac{1}{2}) - 3$

Étape 5.3.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 (\frac{x}{6}) + 6 (\frac{1}{2}) - 3$

Étape 5.3.3.5

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.3.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 (\frac{x}{6}) + 6 (\frac{1}{2}) - 3$

Étape 5.3.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 6 (\frac{1}{2}) - 3$

Étape 5.3.3.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 2 (3) (\frac{1}{2}) - 3$

Étape 5.3.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 2 \cdot (3 (\frac{1}{2})) - 3$

Étape 5.3.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 3 - 3$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x + 3 - 3$ .

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$ est l’inverse de $f (x) = 6 \log (x) - 3$ .

$f^{- 1} (x) = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$