Pré-calcul Exemples

$f (x) = 5 + \ln (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 5 + \ln (x)$ comme une équation.

$y = 5 + \ln (x)$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 5 + \ln (y)$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $5 + \ln (y) = x$ .

$5 + \ln (y) = x$

Étape 3.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$\ln (y) = x - 5$

Étape 3.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (y)} = e^{x - 5}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (y) = x - 5$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{x - 5} = y$

Étape 3.5

Réécrivez l’équation comme $y = e^{x - 5}$ .

$y = e^{x - 5}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = e^{x - 5}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = e^{x - 5}$ est l’inverse de $f (x) = 5 + \ln (x)$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (5 + \ln (x))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 + \ln (x)) = e^{(5 + \ln (x)) - 5}$

Étape 5.2.3

Associez les termes opposés dans $(5 + \ln (x)) - 5$ .

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Étape 5.2.3.1

Soustrayez $5$ de $5$ .

$f^{- 1} (5 + \ln (x)) = e^{0 + \ln (x)}$

Étape 5.2.3.2

Additionnez $0$ et $\ln (x)$ .

$f^{- 1} (5 + \ln (x)) = e^{\ln (x)}$

Étape 5.2.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f^{- 1} (5 + \ln (x)) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (e^{x - 5})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (e^{x - 5}) = 5 + \ln (e^{x - 5})$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $x - 5$ de l’exposant.

$f (e^{x - 5}) = 5 + (x - 5) \ln (e)$

Étape 5.3.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f (e^{x - 5}) = 5 + (x - 5) \cdot 1$

Étape 5.3.3.3

Multipliez $x - 5$ par $1$ .

$f (e^{x - 5}) = 5 + x - 5$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $5 + x - 5$ .

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $5$ de $5$ .

$f (e^{x - 5}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (e^{x - 5}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = e^{x - 5}$ est l’inverse de $f (x) = 5 + \ln (x)$ .

$f^{- 1} (x) = e^{x - 5}$