Pré-calcul Exemples

$f (x) = 5 \arcsin (5 x - 1) + 2$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 5 \arcsin (5 x - 1) + 2$ comme une équation.

$y = 5 \arcsin (5 x - 1) + 2$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 5 \arcsin (5 y - 1) + 2$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $5 \arcsin (5 y - 1) + 2 = x$ .

$5 \arcsin (5 y - 1) + 2 = x$

Étape 3.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$5 \arcsin (5 y - 1) = x - 2$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $5 \arcsin (5 y - 1) = x - 2$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $5 \arcsin (5 y - 1) = x - 2$ par $5$ .

$\frac{5 \arcsin (5 y - 1)}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 2}{5}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \arcsin (5 y - 1)}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 2}{5}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $\arcsin (5 y - 1)$ par $1$ .

$\arcsin (5 y - 1) = \frac{x}{5} + \frac{- 2}{5}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\arcsin (5 y - 1) = \frac{x}{5} - \frac{2}{5}$

Étape 3.4

Prenez l’arc sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc sinus.

$5 y - 1 = \sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})$

Étape 3.5

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$5 y = \sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 1$

Étape 3.6

Divisez chaque terme dans $5 y = \sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 1$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 3.6.1

Divisez chaque terme dans $5 y = \sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 1$ par $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}$

Étape 3.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 y}{5} = \frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}$

Étape 3.6.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}$ est l’inverse de $f (x) = 5 \arcsin (5 x - 1) + 2$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{\sin (\frac{5 \arcsin (5 x - 1) + 2}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{\sin (\frac{5 \arcsin (5 x - 1) + 2}{5} - \frac{2}{5}) + 1}{5}$

Étape 5.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{\sin (\frac{5 \arcsin (5 x - 1) + 2 - 2}{5}) + 1}{5}$

Étape 5.2.4.2

Associez les termes opposés dans $5 \arcsin (5 x - 1) + 2 - 2$ .

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Étape 5.2.4.2.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{\sin (\frac{5 \arcsin (5 x - 1) + 0}{5}) + 1}{5}$

Étape 5.2.4.2.2

Additionnez $5 \arcsin (5 x - 1)$ et $0$ .

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{\sin (\frac{5 \arcsin (5 x - 1)}{5}) + 1}{5}$

Étape 5.2.4.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{\sin (\frac{5 \arcsin (5 x - 1)}{5}) + 1}{5}$

Étape 5.2.4.3.2

Divisez $\arcsin (5 x - 1)$ par $1$ .

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{\sin (\arcsin (5 x - 1)) + 1}{5}$

Étape 5.2.4.4

Les fonctions sinus et arc sinus sont inverses.

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{5 x - 1 + 1}{5}$

Étape 5.2.5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.5.1

Associez les termes opposés dans $5 x - 1 + 1$ .

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Étape 5.2.5.1.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{5 x + 0}{5}$

Étape 5.2.5.1.2

Additionnez $5 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{5 x}{5}$

Étape 5.2.5.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{5 x}{5}$

Étape 5.2.5.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) = 5 \arcsin (5 (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) - 1) + 2$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) = 5 \arcsin (5 (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}) + 5 (\frac{1}{5}) - 1) + 2$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) = 5 \arcsin (5 (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}) + 5 (\frac{1}{5}) - 1) + 2$

Étape 5.3.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) = 5 \arcsin (\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 5 (\frac{1}{5}) - 1) + 2$

Étape 5.3.3.1.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) = 5 \arcsin (\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 5 (\frac{1}{5}) - 1) + 2$

Étape 5.3.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) = 5 \arcsin (\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 1 - 1) + 2$

Étape 5.3.3.2

Associez les termes opposés dans $\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 1 - 1$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) = 5 \arcsin (\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 0) + 2$

Étape 5.3.3.2.2

Additionnez $\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})$ et $0$ .

$f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) = 5 \arcsin (\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})) + 2$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}$ est l’inverse de $f (x) = 5 \arcsin (5 x - 1) + 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}$