Pré-calcul Exemples

$f (x) = 2 e^{x + 1}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 2 e^{x + 1}$ comme une équation.

$y = 2 e^{x + 1}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 2 e^{y + 1}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $2 e^{y + 1} = x$ .

$2 e^{y + 1} = x$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $2 e^{y + 1} = x$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $2 e^{y + 1} = x$ par $2$ .

$\frac{2 e^{y + 1}}{2} = \frac{x}{2}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 e^{y + 1}}{2} = \frac{x}{2}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $e^{y + 1}$ par $1$ .

$e^{y + 1} = \frac{x}{2}$

Étape 3.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{y + 1}) = \ln (\frac{x}{2})$

Étape 3.4

Développez le côté gauche.

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Étape 3.4.1

Développez $\ln (e^{y + 1})$ en déplaçant $y + 1$ hors du logarithme.

$(y + 1) \ln (e) = \ln (\frac{x}{2})$

Étape 3.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$(y + 1) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{2})$

Étape 3.4.3

Multipliez $y + 1$ par $1$ .

$y + 1 = \ln (\frac{x}{2})$

Étape 3.5

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = \ln (\frac{x}{2}) - 1$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2}) - 1$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2}) - 1$ est l’inverse de $f (x) = 2 e^{x + 1}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (2 e^{x + 1})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 e^{x + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x + 1}}{2}) - 1$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (2 e^{x + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x + 1}}{2}) - 1$

Étape 5.2.3.1.2

Divisez $e^{x + 1}$ par $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x + 1}) = \ln (e^{x + 1}) - 1$

Étape 5.2.3.2

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $x + 1$ de l’exposant.

$f^{- 1} (2 e^{x + 1}) = (x + 1) \ln (e) - 1$

Étape 5.2.3.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x + 1}) = (x + 1) \cdot 1 - 1$

Étape 5.2.3.4

Multipliez $x + 1$ par $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x + 1}) = x + 1 - 1$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x + 1 - 1$ .

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Étape 5.2.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x + 1}) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (2 e^{x + 1}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\ln (\frac{x}{2}) - 1)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\ln (\frac{x}{2}) - 1) = 2 e^{(\ln (\frac{x}{2}) - 1) + 1}$

Étape 5.3.3

Associez les termes opposés dans $(\ln (\frac{x}{2}) - 1) + 1$ .

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Étape 5.3.3.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (\ln (\frac{x}{2}) - 1) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2}) + 0}$

Étape 5.3.3.2

Additionnez $\ln (\frac{x}{2})$ et $0$ .

$f (\ln (\frac{x}{2}) - 1) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2})}$

Étape 5.3.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\ln (\frac{x}{2}) - 1) = 2 (\frac{x}{2})$

Étape 5.3.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (\ln (\frac{x}{2}) - 1) = 2 (\frac{x}{2})$

Étape 5.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$f (\ln (\frac{x}{2}) - 1) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2}) - 1$ est l’inverse de $f (x) = 2 e^{x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2}) - 1$