Pré-calcul Exemples

$f (x) = 2 - \frac{1}{x}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 2 - \frac{1}{x}$ comme une équation.

$y = 2 - \frac{1}{x}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 2 - \frac{1}{y}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $2 - \frac{1}{y} = x$ .

$2 - \frac{1}{y} = x$

Étape 3.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{1}{y} = x - 2$

Étape 3.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y, 1, 1$

Étape 3.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y$

Étape 3.4

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{y} = x - 2$ par $y$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{y} = x - 2$ par $y$ .

$- \frac{1}{y} y = x y - 2 y$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{y} y = x y - 2 y$

Étape 3.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{y} y = x y - 2 y$

Étape 3.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = x y - 2 y$

Étape 3.5

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $x y - 2 y = - 1$ .

$x y - 2 y = - 1$

Étape 3.5.2

Factorisez $y$ à partir de $x y - 2 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$y x - 2 y = - 1$

Étape 3.5.2.2

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y$ .

$y x + y \cdot - 2 = - 1$

Étape 3.5.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y x + y \cdot - 2$ .

$y (x - 2) = - 1$

Étape 3.5.3

Divisez chaque terme dans $y (x - 2) = - 1$ par $x - 2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.1

Divisez chaque terme dans $y (x - 2) = - 1$ par $x - 2$ .

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 1}{x - 2}$

Étape 3.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 1}{x - 2}$

Étape 3.5.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 1}{x - 2}$

Étape 3.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1}{x - 2}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = - \frac{1}{x - 2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \frac{1}{x - 2}$ est l’inverse de $f (x) = 2 - \frac{1}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (2 - \frac{1}{x})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 - \frac{1}{x}) = - \frac{1}{(2 - \frac{1}{x}) - 2}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (2 - \frac{1}{x}) = - \frac{1}{- \frac{1}{x} + 0}$

Étape 5.2.3.2

Additionnez $- \frac{1}{x}$ et $0$ .

$f^{- 1} (2 - \frac{1}{x}) = - \frac{1}{- \frac{1}{x}}$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$f^{- 1} (2 - \frac{1}{x}) = - \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{1}{x}}$

Étape 5.2.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{- 1} (2 - \frac{1}{x}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Étape 5.2.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (2 - \frac{1}{x}) = 1 x$

Étape 5.2.6

Multipliez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (2 - \frac{1}{x}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (- \frac{1}{x - 2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- \frac{1}{x - 2}) = 2 - \frac{1}{- \frac{1}{x - 2}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$f (- \frac{1}{x - 2}) = 2 - \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{1}{x - 2}}$

Étape 5.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{1}{x - 2}) = 2 + \frac{1}{\frac{1}{x - 2}}$

Étape 5.3.3.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (- \frac{1}{x - 2}) = 2 + 1 (x - 2)$

Étape 5.3.3.3

Multipliez $x - 2$ par $1$ .

$f (- \frac{1}{x - 2}) = 2 + x - 2$

Étape 5.3.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{1}{x - 2}) = 2 - (- x + 2)$

Étape 5.3.3.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f (- \frac{1}{x - 2}) = 2 - (- x + 2)$

Étape 5.3.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{1}{x - 2}) = 2 + x - 1 \cdot 2$

Étape 5.3.3.7

Multipliez $- - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{1}{x - 2}) = 2 + 1 x - 1 \cdot 2$

Étape 5.3.3.7.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (- \frac{1}{x - 2}) = 2 + x - 1 \cdot 2$

Étape 5.3.3.8

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (- \frac{1}{x - 2}) = 2 + x - 2$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $2 + x - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f (- \frac{1}{x - 2}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (- \frac{1}{x - 2}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - \frac{1}{x - 2}$ est l’inverse de $f (x) = 2 - \frac{1}{x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{1}{x - 2}$