Pré-calcul Exemples

$f (x) = 3 x^{2} - 4 x - 2$

Étape 1

Le minimum d’une fonction quadratique se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ est positif, la valeur minimale de la fonction est $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 2

Déterminez la valeur de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ .

$x = - \frac{- 4}{2 (3)}$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses.

$x = - \frac{- 4}{2 (3)}$

Étape 2.3

Simplifiez $- \frac{- 4}{2 (3)}$ .

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 3$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 2}{2 (3)}$

Étape 2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{- 2}{3}$

Étape 2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - - \frac{2}{3}$

Étape 2.3.3

Multipliez $- - \frac{2}{3}$ .

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1 (\frac{2}{3})$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Étape 3

Évaluez $f (\frac{2}{3})$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{2}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{2}{3}) = 3 {(\frac{2}{3})}^{2} - 4 (\frac{2}{3}) - 2$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{2^{2}}{3^{2}}) - 4 (\frac{2}{3}) - 2$

Étape 3.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3^{2}}) - 4 (\frac{2}{3}) - 2$

Étape 3.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{9}) - 4 (\frac{2}{3}) - 2$

Étape 3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3 (3)}) - 4 (\frac{2}{3}) - 2$

Étape 3.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3 \cdot 3}) - 4 (\frac{2}{3}) - 2$

Étape 3.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3} - 4 (\frac{2}{3}) - 2$

Étape 3.2.1.5

Multipliez $- 4 (\frac{2}{3})$ .

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Étape 3.2.1.5.1

Associez $- 4$ et $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 2}{3} - 2$

Étape 3.2.1.5.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{- 8}{3} - 2$

Étape 3.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} - 2$

Étape 3.2.2

Associez les fractions.

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Étape 3.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{2}{3}) = - 2 + \frac{4 - 8}{3}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.2.2.1

Soustrayez $8$ de $4$ .

$f (\frac{2}{3}) = - 2 + \frac{- 4}{3}$

Étape 3.2.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{2}{3}) = - 2 - \frac{4}{3}$

Étape 3.2.3

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = - 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Étape 3.2.4

Associez $- 2$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{- 2 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

Étape 3.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{- 2 \cdot 3 - 4}{3}$

Étape 3.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.6.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{- 6 - 4}{3}$

Étape 3.2.6.2

Soustrayez $4$ de $- 6$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{- 10}{3}$

Étape 3.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{2}{3}) = - \frac{10}{3}$

Étape 3.2.8

La réponse finale est $- \frac{10}{3}$ .

$- \frac{10}{3}$

Étape 4

Utilisez les valeurs $x$ et $y$ pour déterminer où se produit le minimum.

$(\frac{2}{3}, - \frac{10}{3})$

Étape 5