Pré-calcul Exemples

$f (x) = 9 x^{2} - 9 x$

Étape 1

Le minimum d’une fonction quadratique se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ est positif, la valeur minimale de la fonction est $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 2

Déterminez la valeur de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ .

$x = - \frac{- 9}{2 (9)}$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses.

$x = - \frac{- 9}{2 (9)}$

Étape 2.3

Simplifiez $- \frac{- 9}{2 (9)}$ .

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 9$ et $9$ .

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Étape 2.3.1.1

Factorisez $9$ à partir de $- 9$ .

$x = - \frac{9 \cdot - 1}{2 \cdot 9}$

Étape 2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.1.2.1

Factorisez $9$ à partir de $2 \cdot 9$ .

$x = - \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 2}$

Étape 2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 2}$

Étape 2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - - \frac{1}{2}$

Étape 2.3.3

Multipliez $- - \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1 (\frac{1}{2})$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 3

Évaluez $f (\frac{1}{2})$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{1}{2}) = 9 {(\frac{1}{2})}^{2} - 9 (\frac{1}{2})$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 9 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 9 (\frac{1}{2})$

Étape 3.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{2}) = 9 (\frac{1}{2^{2}}) - 9 (\frac{1}{2})$

Étape 3.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = 9 (\frac{1}{4}) - 9 (\frac{1}{2})$

Étape 3.2.1.4

Associez $9$ et $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{9}{4} - 9 (\frac{1}{2})$

Étape 3.2.1.5

Associez $- 9$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 9}{2}$

Étape 3.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2}$

Étape 3.2.2

Pour écrire $- \frac{9}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.2.3.1

Multipliez $\frac{9}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 3.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4}$

Étape 3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2}{4}$

Étape 3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.5.1

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{9 - 18}{4}$

Étape 3.2.5.2

Soustrayez $18$ de $9$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 9}{4}$

Étape 3.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{9}{4}$

Étape 3.2.7

La réponse finale est $- \frac{9}{4}$ .

$- \frac{9}{4}$

Étape 4

Utilisez les valeurs $x$ et $y$ pour déterminer où se produit le minimum.

$(\frac{1}{2}, - \frac{9}{4})$

Étape 5