Pré-calcul Exemples

$\ln (x) + \ln (x + 5) = \ln (14)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x + 5)) = \ln (14)$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 5) = \ln (14)$

Étape 1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 5) = \ln (14)$

Étape 1.3.2

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$\ln (x^{2} + 5 x) = \ln (14)$

Étape 2

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$x^{2} + 5 x = 14$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $14$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 5 x - 14 = 0$

Étape 3.2

Factorisez $x^{2} + 5 x - 14$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 14$ et dont la somme est $5$ .

$- 2, 7$

Étape 3.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 2) (x + 7) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 7 = 0$

Étape 3.4

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 3.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 3.5

Définissez $x + 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $x + 7$ égal à $0$ .

$x + 7 = 0$

Étape 3.5.2

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 7$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 2) (x + 7) = 0$ vraie.

$x = 2, - 7$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\ln (x) + \ln (x + 5) = \ln (14)$ vrai.

$x = 2$