Pré-calcul Exemples

$f (x) = x^{2} + 9 x - 16$

Étape 1

Le minimum d’une fonction quadratique se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ est positif, la valeur minimale de la fonction est $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 2

Déterminez la valeur de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ .

$x = - \frac{9}{2 (1)}$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses.

$x = - \frac{9}{2 (1)}$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = - \frac{9}{2}$

Étape 3

Évaluez $f (- \frac{9}{2})$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{9}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{9}{2}) = {(- \frac{9}{2})}^{2} + 9 (- \frac{9}{2}) - 16$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{9}{2}$ .

$f (- \frac{9}{2}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{9}{2})}^{2} + 9 (- \frac{9}{2}) - 16$

Étape 3.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{9}{2}$ .

$f (- \frac{9}{2}) = {(- 1)}^{2} (\frac{9^{2}}{2^{2}}) + 9 (- \frac{9}{2}) - 16$

Étape 3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{9}{2}) = 1 (\frac{9^{2}}{2^{2}}) + 9 (- \frac{9}{2}) - 16$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $\frac{9^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{9^{2}}{2^{2}} + 9 (- \frac{9}{2}) - 16$

Étape 3.2.1.4

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{2^{2}} + 9 (- \frac{9}{2}) - 16$

Étape 3.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} + 9 (- \frac{9}{2}) - 16$

Étape 3.2.1.6

Multipliez $9 (- \frac{9}{2})$ .

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Étape 3.2.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} - 9 (\frac{9}{2}) - 16$

Étape 3.2.1.6.2

Associez $- 9$ et $\frac{9}{2}$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{- 9 \cdot 9}{2} - 16$

Étape 3.2.1.6.3

Multipliez $- 9$ par $9$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{- 81}{2} - 16$

Étape 3.2.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} - \frac{81}{2} - 16$

Étape 3.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.2.2.1

Multipliez $\frac{81}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} - (\frac{81}{2} \cdot \frac{2}{2}) - 16$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $\frac{81}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} - \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 16$

Étape 3.2.2.3

Écrivez $- 16$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} - \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 16}{1}$

Étape 3.2.2.4

Multipliez $\frac{- 16}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} - \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 16}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 3.2.2.5

Multipliez $\frac{- 16}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} - \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 16 \cdot 4}{4}$

Étape 3.2.2.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} - \frac{81 \cdot 2}{4} + \frac{- 16 \cdot 4}{4}$

Étape 3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81 - 81 \cdot 2 - 16 \cdot 4}{4}$

Étape 3.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.4.1

Multipliez $- 81$ par $2$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81 - 162 - 16 \cdot 4}{4}$

Étape 3.2.4.2

Multipliez $- 16$ par $4$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81 - 162 - 64}{4}$

Étape 3.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.5.1

Soustrayez $162$ de $81$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{- 81 - 64}{4}$

Étape 3.2.5.2

Soustrayez $64$ de $- 81$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{- 145}{4}$

Étape 3.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{9}{2}) = - \frac{145}{4}$

Étape 3.2.6

La réponse finale est $- \frac{145}{4}$ .

$- \frac{145}{4}$

Étape 4

Utilisez les valeurs $x$ et $y$ pour déterminer où se produit le minimum.

$(- \frac{9}{2}, - \frac{145}{4})$

Étape 5