Pré-calcul Exemples

$f (x) = x^{4} + x^{3} - 11 x^{2} - 9 x + 18$

Étape 1

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ .

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Étape 1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$

$q = \pm 1$

Étape 1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$

Étape 2

Appliquez la division synthétique sur $\frac{x^{4} + x^{3} - 11 x^{2} - 9 x + 18}{x - 6}$ quand $x = 6$ .

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Étape 2.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$6$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$

Étape 2.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$6$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$

	$1$

Étape 2.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(6)$ et placez le résultat de $(6)$ sous le terme suivant dans le dividende $(1)$ .

$6$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$6$
	$1$

Étape 2.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$6$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$6$
	$1$	$7$

Étape 2.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(7)$ par le diviseur $(6)$ et placez le résultat de $(42)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 11)$ .

$6$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$6$	$42$
	$1$	$7$

Étape 2.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$6$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$6$	$42$
	$1$	$7$	$31$

Étape 2.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(31)$ par le diviseur $(6)$ et placez le résultat de $(186)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 9)$ .

$6$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$6$	$42$	$186$
	$1$	$7$	$31$

Étape 2.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$6$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$6$	$42$	$186$
	$1$	$7$	$31$	$177$

Étape 2.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(177)$ par le diviseur $(6)$ et placez le résultat de $(1062)$ sous le terme suivant dans le dividende $(18)$ .

$6$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$6$	$42$	$186$	$1062$
	$1$	$7$	$31$	$177$

Étape 2.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$6$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$6$	$42$	$186$	$1062$
	$1$	$7$	$31$	$177$	$1080$

Étape 2.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{3} + 7 x^{2} + (31) x + 177 + \frac{1080}{x - 6}$

Étape 2.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{3} + 7 x^{2} + 31 x + 177 + \frac{1080}{x - 6}$

Étape 3

Comme $6 > 0$ et tous les signes de la ligne du bas de la division synthétique sont positifs, $6$ est une borne supérieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne supérieure : $6$

Étape 4

Appliquez la division synthétique sur $\frac{x^{4} + x^{3} - 11 x^{2} - 9 x + 18}{x + 6}$ quand $x = - 6$ .

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Étape 4.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 6$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$

Étape 4.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 6$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$

	$1$

Étape 4.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(- 6)$ et placez le résultat de $(- 6)$ sous le terme suivant dans le dividende $(1)$ .

$- 6$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$- 6$
	$1$

Étape 4.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 6$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$- 6$
	$1$	$- 5$

Étape 4.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 5)$ par le diviseur $(- 6)$ et placez le résultat de $(30)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 11)$ .

$- 6$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$- 6$	$30$
	$1$	$- 5$

Étape 4.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 6$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$- 6$	$30$
	$1$	$- 5$	$19$

Étape 4.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(19)$ par le diviseur $(- 6)$ et placez le résultat de $(- 114)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 9)$ .

$- 6$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$- 6$	$30$	$- 114$
	$1$	$- 5$	$19$

Étape 4.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 6$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$- 6$	$30$	$- 114$
	$1$	$- 5$	$19$	$- 123$

Étape 4.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 123)$ par le diviseur $(- 6)$ et placez le résultat de $(738)$ sous le terme suivant dans le dividende $(18)$ .

$- 6$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$- 6$	$30$	$- 114$	$738$
	$1$	$- 5$	$19$	$- 123$

Étape 4.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 6$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$- 6$	$30$	$- 114$	$738$
	$1$	$- 5$	$19$	$- 123$	$756$

Étape 4.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{3} + - 5 x^{2} + (19) x - 123 + \frac{756}{x + 6}$

Étape 4.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{3} - 5 x^{2} + 19 x - 123 + \frac{756}{x + 6}$

Étape 5

Comme $- 6 < 0$ et les signes de la ligne du bas de la division synthétique changent de signe, $- 6$ est une borne inférieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne inférieure : $- 6$

Étape 6

Appliquez la division synthétique sur $\frac{x^{4} + x^{3} - 11 x^{2} - 9 x + 18}{x - 9}$ quand $x = 9$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$9$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$9$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(9)$ et placez le résultat de $(9)$ sous le terme suivant dans le dividende $(1)$ .

$9$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$9$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$9$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$9$
	$1$	$10$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(10)$ par le diviseur $(9)$ et placez le résultat de $(90)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 11)$ .

$9$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$9$	$90$
	$1$	$10$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$9$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$9$	$90$
	$1$	$10$	$79$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(79)$ par le diviseur $(9)$ et placez le résultat de $(711)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 9)$ .

$9$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$9$	$90$	$711$
	$1$	$10$	$79$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$9$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$9$	$90$	$711$
	$1$	$10$	$79$	$702$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(702)$ par le diviseur $(9)$ et placez le résultat de $(6318)$ sous le terme suivant dans le dividende $(18)$ .

$9$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$9$	$90$	$711$	$6318$
	$1$	$10$	$79$	$702$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$9$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$9$	$90$	$711$	$6318$
	$1$	$10$	$79$	$702$	$6336$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{3} + 10 x^{2} + (79) x + 702 + \frac{6336}{x - 9}$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{3} + 10 x^{2} + 79 x + 702 + \frac{6336}{x - 9}$

Étape 7

Comme $9 > 0$ et tous les signes de la ligne du bas de la division synthétique sont positifs, $9$ est une borne supérieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne supérieure : $9$

Étape 8

Appliquez la division synthétique sur $\frac{x^{4} + x^{3} - 11 x^{2} - 9 x + 18}{x + 9}$ quand $x = - 9$ .

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Étape 8.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 9$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$

Étape 8.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 9$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$

	$1$

Étape 8.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(- 9)$ et placez le résultat de $(- 9)$ sous le terme suivant dans le dividende $(1)$ .

$- 9$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$- 9$
	$1$

Étape 8.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 9$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$- 9$
	$1$	$- 8$

Étape 8.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 8)$ par le diviseur $(- 9)$ et placez le résultat de $(72)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 11)$ .

$- 9$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$- 9$	$72$
	$1$	$- 8$

Étape 8.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 9$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$- 9$	$72$
	$1$	$- 8$	$61$

Étape 8.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(61)$ par le diviseur $(- 9)$ et placez le résultat de $(- 549)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 9)$ .

$- 9$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$- 9$	$72$	$- 549$
	$1$	$- 8$	$61$

Étape 8.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 9$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$- 9$	$72$	$- 549$
	$1$	$- 8$	$61$	$- 558$

Étape 8.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 558)$ par le diviseur $(- 9)$ et placez le résultat de $(5022)$ sous le terme suivant dans le dividende $(18)$ .

$- 9$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$- 9$	$72$	$- 549$	$5022$
	$1$	$- 8$	$61$	$- 558$

Étape 8.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 9$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$- 9$	$72$	$- 549$	$5022$
	$1$	$- 8$	$61$	$- 558$	$5040$

Étape 8.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{3} + - 8 x^{2} + (61) x - 558 + \frac{5040}{x + 9}$

Étape 8.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{3} - 8 x^{2} + 61 x - 558 + \frac{5040}{x + 9}$

Étape 9

Comme $- 9 < 0$ et les signes de la ligne du bas de la division synthétique changent de signe, $- 9$ est une borne inférieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne inférieure : $- 9$

Étape 10

Appliquez la division synthétique sur $\frac{x^{4} + x^{3} - 11 x^{2} - 9 x + 18}{x - 18}$ quand $x = 18$ .

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Étape 10.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$18$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$

Étape 10.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$18$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$

	$1$

Étape 10.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(18)$ et placez le résultat de $(18)$ sous le terme suivant dans le dividende $(1)$ .

$18$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$18$
	$1$

Étape 10.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$18$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$18$
	$1$	$19$

Étape 10.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(19)$ par le diviseur $(18)$ et placez le résultat de $(342)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 11)$ .

$18$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$18$	$342$
	$1$	$19$

Étape 10.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$18$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$18$	$342$
	$1$	$19$	$331$

Étape 10.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(331)$ par le diviseur $(18)$ et placez le résultat de $(5958)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 9)$ .

$18$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$18$	$342$	$5958$
	$1$	$19$	$331$

Étape 10.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$18$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$18$	$342$	$5958$
	$1$	$19$	$331$	$5949$

Étape 10.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(5949)$ par le diviseur $(18)$ et placez le résultat de $(107082)$ sous le terme suivant dans le dividende $(18)$ .

$18$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$18$	$342$	$5958$	$107082$
	$1$	$19$	$331$	$5949$

Étape 10.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$18$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$18$	$342$	$5958$	$107082$
	$1$	$19$	$331$	$5949$	$107100$

Étape 10.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{3} + 19 x^{2} + (331) x + 5949 + \frac{107100}{x - 18}$

Étape 10.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{3} + 19 x^{2} + 331 x + 5949 + \frac{107100}{x - 18}$

Étape 11

Comme $18 > 0$ et tous les signes de la ligne du bas de la division synthétique sont positifs, $18$ est une borne supérieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne supérieure : $18$

Étape 12

Appliquez la division synthétique sur $\frac{x^{4} + x^{3} - 11 x^{2} - 9 x + 18}{x + 18}$ quand $x = - 18$ .

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Étape 12.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 18$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$

Étape 12.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 18$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$

	$1$

Étape 12.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(- 18)$ et placez le résultat de $(- 18)$ sous le terme suivant dans le dividende $(1)$ .

$- 18$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$- 18$
	$1$

Étape 12.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 18$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$- 18$
	$1$	$- 17$

Étape 12.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 17)$ par le diviseur $(- 18)$ et placez le résultat de $(306)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 11)$ .

$- 18$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$- 18$	$306$
	$1$	$- 17$

Étape 12.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 18$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$- 18$	$306$
	$1$	$- 17$	$295$

Étape 12.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(295)$ par le diviseur $(- 18)$ et placez le résultat de $(- 5310)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 9)$ .

$- 18$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$- 18$	$306$	$- 5310$
	$1$	$- 17$	$295$

Étape 12.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 18$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$- 18$	$306$	$- 5310$
	$1$	$- 17$	$295$	$- 5319$

Étape 12.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 5319)$ par le diviseur $(- 18)$ et placez le résultat de $(95742)$ sous le terme suivant dans le dividende $(18)$ .

$- 18$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$- 18$	$306$	$- 5310$	$95742$
	$1$	$- 17$	$295$	$- 5319$

Étape 12.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 18$	$1$	$1$	$- 11$	$- 9$	$18$
		$- 18$	$306$	$- 5310$	$95742$
	$1$	$- 17$	$295$	$- 5319$	$95760$

Étape 12.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{3} + - 17 x^{2} + (295) x - 5319 + \frac{95760}{x + 18}$

Étape 12.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{3} - 17 x^{2} + 295 x - 5319 + \frac{95760}{x + 18}$

Étape 13

Comme $- 18 < 0$ et les signes de la ligne du bas de la division synthétique changent de signe, $- 18$ est une borne inférieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne inférieure : $- 18$

Étape 14

Déterminez les limites supérieures et inférieures.

Bornes supérieures : $6, 9, 18$

Bornes inférieures : $- 6, - 9, - 18$

Étape 15