Pré-calcul Exemples

$f (x) = x^{4} + 4 x^{3} - 2 x - 3$

Étape 1

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ .

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Étape 1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

Étape 1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 3$

Étape 2

Appliquez la division synthétique sur $\frac{x^{4} + 4 x^{3} - 2 x - 3}{x - 1}$ quand $x = 1$ .

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Étape 2.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$1$	$1$	$4$	$0$	$- 2$	$- 3$

Étape 2.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$1$	$1$	$4$	$0$	$- 2$	$- 3$

	$1$

Étape 2.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(4)$ .

$1$	$1$	$4$	$0$	$- 2$	$- 3$
		$1$
	$1$

Étape 2.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$4$	$0$	$- 2$	$- 3$
		$1$
	$1$	$5$

Étape 2.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(5)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(5)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$1$	$1$	$4$	$0$	$- 2$	$- 3$
		$1$	$5$
	$1$	$5$

Étape 2.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$4$	$0$	$- 2$	$- 3$
		$1$	$5$
	$1$	$5$	$5$

Étape 2.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(5)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(5)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 2)$ .

$1$	$1$	$4$	$0$	$- 2$	$- 3$
		$1$	$5$	$5$
	$1$	$5$	$5$

Étape 2.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$4$	$0$	$- 2$	$- 3$
		$1$	$5$	$5$
	$1$	$5$	$5$	$3$

Étape 2.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(3)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(3)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 3)$ .

$1$	$1$	$4$	$0$	$- 2$	$- 3$
		$1$	$5$	$5$	$3$
	$1$	$5$	$5$	$3$

Étape 2.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$4$	$0$	$- 2$	$- 3$
		$1$	$5$	$5$	$3$
	$1$	$5$	$5$	$3$	$0$

Étape 2.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{3} + 5 x^{2} + (5) x + 3$

Étape 2.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{3} + 5 x^{2} + 5 x + 3$

Étape 3

Comme $1 > 0$ et tous les signes de la ligne du bas de la division synthétique sont positifs, $1$ est une borne supérieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne supérieure : $1$

Étape 4

Appliquez la division synthétique sur $\frac{x^{4} + 4 x^{3} - 2 x - 3}{x - 3}$ quand $x = 3$ .

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Étape 4.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$3$	$1$	$4$	$0$	$- 2$	$- 3$

Étape 4.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$3$	$1$	$4$	$0$	$- 2$	$- 3$

	$1$

Étape 4.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(3)$ et placez le résultat de $(3)$ sous le terme suivant dans le dividende $(4)$ .

$3$	$1$	$4$	$0$	$- 2$	$- 3$
		$3$
	$1$

Étape 4.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$3$	$1$	$4$	$0$	$- 2$	$- 3$
		$3$
	$1$	$7$

Étape 4.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(7)$ par le diviseur $(3)$ et placez le résultat de $(21)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$3$	$1$	$4$	$0$	$- 2$	$- 3$
		$3$	$21$
	$1$	$7$

Étape 4.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$3$	$1$	$4$	$0$	$- 2$	$- 3$
		$3$	$21$
	$1$	$7$	$21$

Étape 4.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(21)$ par le diviseur $(3)$ et placez le résultat de $(63)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 2)$ .

$3$	$1$	$4$	$0$	$- 2$	$- 3$
		$3$	$21$	$63$
	$1$	$7$	$21$

Étape 4.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$3$	$1$	$4$	$0$	$- 2$	$- 3$
		$3$	$21$	$63$
	$1$	$7$	$21$	$61$

Étape 4.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(61)$ par le diviseur $(3)$ et placez le résultat de $(183)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 3)$ .

$3$	$1$	$4$	$0$	$- 2$	$- 3$
		$3$	$21$	$63$	$183$
	$1$	$7$	$21$	$61$

Étape 4.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$3$	$1$	$4$	$0$	$- 2$	$- 3$
		$3$	$21$	$63$	$183$
	$1$	$7$	$21$	$61$	$180$

Étape 4.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{3} + 7 x^{2} + (21) x + 61 + \frac{180}{x - 3}$

Étape 4.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{3} + 7 x^{2} + 21 x + 61 + \frac{180}{x - 3}$

Étape 5

Comme $3 > 0$ et tous les signes de la ligne du bas de la division synthétique sont positifs, $3$ est une borne supérieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne supérieure : $3$

Étape 6

Déterminez les limites supérieures et inférieures.

Bornes supérieures : $1, 3$

No Lower Bounds

Étape 7