Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{4 x - 2}{3 x}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \frac{4 (x + h) - 2}{3 (x + h)}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 (x + h) - 2$ .

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Étape 2.1.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h)) - 2}{3 (x + h)}$

Étape 2.1.2.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h)) + 2 (- 1)}{3 (x + h)}$

Étape 2.1.2.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 (x + h)) + 2 (- 1)$ .

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - 1)}{3 (x + h)}$

Étape 2.1.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$ .

$\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$

$f (x) = \frac{2 (2 x - 1)}{3 x}$

$f (x + h) = \frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$

$f (x) = \frac{2 (2 x - 1)}{3 x}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)} - (\frac{2 (2 x - 1)}{3 x})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Pour écrire $\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2 (2 x - 1)}{3 x}}{h}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- \frac{2 (2 x - 1)}{3 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2 (2 x - 1)}{3 x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Étape 4.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $3 (x + h) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1) x}{3 (x + h) x} - \frac{2 (2 x - 1)}{3 x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $\frac{2 (2 x - 1)}{3 x}$ par $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1) x}{3 (x + h) x} - \frac{2 (2 x - 1) (x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $3 (x + h) x$ .

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1) x}{3 x (x + h)} - \frac{2 (2 x - 1) (x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1) x - 2 (2 x - 1) (x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $\frac{2 (2 x + 2 h - 1) x - 2 (2 x - 1) (x + h)}{3 x (x + h)}$ en forme factorisée.

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Étape 4.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x + 2 h - 1) x - 2 (2 x - 1) (x + h)$ .

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Étape 4.1.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x + 2 h - 1) x$ .

$\frac{\frac{2 ((2 x + 2 h - 1) x) - 2 (2 x - 1) (x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 (2 x - 1) (x + h)$ .

$\frac{\frac{2 ((2 x + 2 h - 1) x) + 2 (- (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 ((2 x + 2 h - 1) x) + 2 (- (2 x - 1) (x + h))$ .

$\frac{\frac{2 ((2 x + 2 h - 1) x - (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{2 (2 x \cdot x + 2 h x - 1 x - (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.3

Simplifiez

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Étape 4.1.5.3.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.3.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{\frac{2 (2 (x \cdot x) + 2 h x - 1 x - (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - 1 x - (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.3.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x + (- (2 x) - - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x + (- 2 x - - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x + (- 2 x + 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.7

Développez $(- 2 x + 1) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.5.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x (x + h) + 1 (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x \cdot x - 2 x h + 1 (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x \cdot x - 2 x h + 1 x + 1 h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.5.8.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.8.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 (x \cdot x) - 2 x h + 1 x + 1 h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.8.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x^{2} - 2 x h + 1 x + 1 h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.8.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x^{2} - 2 x h + x + 1 h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.8.3

Multipliez $h$ par $1$ .

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x^{2} - 2 x h + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.9

Soustrayez $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 (2 h x - x + 0 - 2 x h + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.10

Additionnez $2 h x$ et $0$ .

$\frac{\frac{2 (2 h x - x - 2 x h + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.11

Soustrayez $2 x h$ de $2 h x$ .

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Étape 4.1.5.11.1

Déplacez $h$ .

$\frac{\frac{2 (- x + 2 x h - 2 x h + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.11.2

Soustrayez $2 x h$ de $2 x h$ .

$\frac{\frac{2 (- x + 0 + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.12

Additionnez $- x$ et $0$ .

$\frac{\frac{2 (- x + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.13

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{\frac{2 (0 + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.14

Additionnez $0$ et $h$ .

$\frac{\frac{2 h}{3 x (x + h)}}{h}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{2 h}{3 x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $h$ à partir de $2 h$ .

$\frac{h \cdot 2}{3 x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{h \cdot 2}{3 x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{3 x (x + h)}$

Étape 5