Pré-calcul Exemples

$f (x) = x^{2} + 6 x + 1$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} + 6 (x + h) + 1$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = (x + h) (x + h) + 6 (x + h) + 1$

Étape 2.1.2.1.2

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) + 6 (x + h) + 1$

Étape 2.1.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) + 6 (x + h) + 1$

Étape 2.1.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 6 (x + h) + 1$

Étape 2.1.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 6 (x + h) + 1$

Étape 2.1.2.1.3.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 6 (x + h) + 1$

Étape 2.1.2.1.3.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 2.1.2.1.3.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} + 6 (x + h) + 1$

Étape 2.1.2.1.3.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 (x + h) + 1$

Étape 2.1.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 x + 6 h + 1$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 x + 6 h + 1$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 x + 6 h + 1$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Déplacez $6 x$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 1$

Étape 2.2.2

Déplacez $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 6 h + 6 x + 1$

Étape 2.2.3

Remettez dans l’ordre $2 h x$ et $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 1$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 1$

$f (x) = x^{2} + 6 x + 1$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 1$

$f (x) = x^{2} + 6 x + 1$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 1 - (x^{2} + 6 x + 1)}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 1 - x^{2} - (6 x) - 1 \cdot 1}{h}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 1 - x^{2} - 6 x - 1 \cdot 1}{h}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 1 - x^{2} - 6 x - 1}{h}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 6 x + 1 + 0 - 6 x - 1}{h}$

Étape 4.1.4

Additionnez $h^{2}$ et $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 6 x + 1 - 6 x - 1}{h}$

Étape 4.1.5

Soustrayez $6 x$ de $6 x$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 0 + 1 - 1}{h}$

Étape 4.1.6

Additionnez $h^{2}$ et $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 1 - 1}{h}$

Étape 4.1.7

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 0}{h}$

Étape 4.1.8

Additionnez $h^{2} + 2 h x + 6 h$ et $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 6 h}{h}$

Étape 4.1.9

Factorisez $h$ à partir de $h^{2} + 2 h x + 6 h$ .

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Étape 4.1.9.1

Factorisez $h$ à partir de $h^{2}$ .

$\frac{h \cdot h + 2 h x + 6 h}{h}$

Étape 4.1.9.2

Factorisez $h$ à partir de $2 h x$ .

$\frac{h (h) + h (2 x) + 6 h}{h}$

Étape 4.1.9.3

Factorisez $h$ à partir de $6 h$ .

$\frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 6}{h}$

Étape 4.1.9.4

Factorisez $h$ à partir de $h (h) + h (2 x)$ .

$\frac{h (h + 2 x) + h \cdot 6}{h}$

Étape 4.1.9.5

Factorisez $h$ à partir de $h (h + 2 x) + h \cdot 6$ .

$\frac{h (h + 2 x + 6)}{h}$

Étape 4.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{h (h + 2 x + 6)}{h}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $h + 2 x + 6$ par $1$ .

$h + 2 x + 6$

Étape 4.2.2

Remettez dans l’ordre $h$ et $2 x$ .

$2 x + h + 6$

Étape 5