Pré-calcul Exemples

$f (x) = 9 x - x^{3}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = 9 (x + h) - {(x + h)}^{3}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 9 x + 9 h - {(x + h)}^{3}$

Étape 2.1.2.1.2

Utilisez le théorème du binôme.

$f (x + h) = 9 x + 9 h - (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3})$

Étape 2.1.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 9 x + 9 h - x^{3} - (3 x^{2} h) - (3 x h^{2}) - h^{3}$

Étape 2.1.2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1.4.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (x + h) = 9 x + 9 h - x^{3} - 3 (x^{2} h) - (3 x h^{2}) - h^{3}$

Étape 2.1.2.1.4.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (x + h) = 9 x + 9 h - x^{3} - 3 (x^{2} h) - 3 (x h^{2}) - h^{3}$

Étape 2.1.2.1.5

Supprimez les parenthèses.

$f (x + h) = 9 x + 9 h - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3}$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $9 x + 9 h - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3}$ .

$9 x + 9 h - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3}$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$9 x + 9 h - x^{3} - 3 h x^{2} - 3 x h^{2} - h^{3}$

Étape 2.2.2

Déplacez $x$ .

$9 x + 9 h - x^{3} - 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3}$

Étape 2.2.3

Déplacez $9 x$ .

$9 h - x^{3} - 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3} + 9 x$

Étape 2.2.4

Déplacez $9 h$ .

$- x^{3} - 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3} + 9 h + 9 x$

Étape 2.2.5

Déplacez $- x^{3}$ .

$- 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3} - x^{3} + 9 h + 9 x$

Étape 2.2.6

Déplacez $- 3 h x^{2}$ .

$- 3 h^{2} x - h^{3} - 3 h x^{2} - x^{3} + 9 h + 9 x$

Étape 2.2.7

Remettez dans l’ordre $- 3 h^{2} x$ et $- h^{3}$ .

$- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 9 h + 9 x$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = - h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 9 h + 9 x$

$f (x) = 9 x - x^{3}$

$f (x + h) = - h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 9 h + 9 x$

$f (x) = 9 x - x^{3}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 9 h + 9 x - (9 x - x^{3})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 9 h + 9 x - (9 x) - - x^{3}}{h}$

Étape 4.1.2

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 9 h + 9 x - 9 x - - x^{3}}{h}$

Étape 4.1.3

Multipliez $- - x^{3}$ .

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 9 h + 9 x - 9 x + 1 x^{3}}{h}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 9 h + 9 x - 9 x + x^{3}}{h}$

Étape 4.1.4

Additionnez $- x^{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 9 h + 9 x - 9 x + 0}{h}$

Étape 4.1.5

Additionnez $- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 9 h + 9 x - 9 x$ et $0$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 9 h + 9 x - 9 x}{h}$

Étape 4.1.6

Soustrayez $9 x$ de $9 x$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 9 h + 0}{h}$

Étape 4.1.7

Additionnez $- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 9 h$ et $0$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 9 h}{h}$

Étape 4.1.8

Factorisez $h$ à partir de $- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 9 h$ .

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Étape 4.1.8.1

Factorisez $h$ à partir de $- h^{3}$ .

$\frac{h (- h^{2}) - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 9 h}{h}$

Étape 4.1.8.2

Factorisez $h$ à partir de $- 3 h^{2} x$ .

$\frac{h (- h^{2}) + h (- 3 h x) - 3 h x^{2} + 9 h}{h}$

Étape 4.1.8.3

Factorisez $h$ à partir de $- 3 h x^{2}$ .

$\frac{h (- h^{2}) + h (- 3 h x) + h (- 3 x^{2}) + 9 h}{h}$

Étape 4.1.8.4

Factorisez $h$ à partir de $9 h$ .

$\frac{h (- h^{2}) + h (- 3 h x) + h (- 3 x^{2}) + h \cdot 9}{h}$

Étape 4.1.8.5

Factorisez $h$ à partir de $h (- h^{2}) + h (- 3 h x)$ .

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x) + h (- 3 x^{2}) + h \cdot 9}{h}$

Étape 4.1.8.6

Factorisez $h$ à partir de $h (- h^{2} - 3 h x) + h (- 3 x^{2})$ .

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2}) + h \cdot 9}{h}$

Étape 4.1.8.7

Factorisez $h$ à partir de $h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2}) + h \cdot 9$ .

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 9)}{h}$

Étape 4.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 9)}{h}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 9$ par $1$ .

$- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 9$

Étape 4.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.1

Déplacez $h$ .

$- h^{2} - 3 x h - 3 x^{2} + 9$

Étape 4.2.2.2

Déplacez $- h^{2}$ .

$- 3 x h - 3 x^{2} - h^{2} + 9$

Étape 4.2.2.3

Remettez dans l’ordre $- 3 x h$ et $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} - 3 x h - h^{2} + 9$

Étape 5