Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{x - 3}{x + 3}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \frac{(x + h) - 3}{(x + h) + 3}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (x + h) = \frac{x + h - 3}{x + h + 3}$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $\frac{x + h - 3}{x + h + 3}$ .

$\frac{x + h - 3}{x + h + 3}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \frac{x + h - 3}{x + h + 3}$

$f (x) = \frac{x - 3}{x + 3}$

$f (x + h) = \frac{x + h - 3}{x + h + 3}$

$f (x) = \frac{x - 3}{x + 3}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{x + h - 3}{x + h + 3} - (\frac{x - 3}{x + 3})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Pour écrire $\frac{x + h - 3}{x + h + 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{\frac{x + h - 3}{x + h + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{x - 3}{x + 3}}{h}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- \frac{x - 3}{x + 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + h + 3}{x + h + 3}$ .

$\frac{\frac{x + h - 3}{x + h + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{x - 3}{x + 3} \cdot \frac{x + h + 3}{x + h + 3}}{h}$

Étape 4.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + h + 3) (x + 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $\frac{x + h - 3}{x + h + 3}$ par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{\frac{(x + h - 3) (x + 3)}{(x + h + 3) (x + 3)} - \frac{x - 3}{x + 3} \cdot \frac{x + h + 3}{x + h + 3}}{h}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $\frac{x - 3}{x + 3}$ par $\frac{x + h + 3}{x + h + 3}$ .

$\frac{\frac{(x + h - 3) (x + 3)}{(x + h + 3) (x + 3)} - \frac{(x - 3) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x + h + 3) (x + 3)$ .

$\frac{\frac{(x + h - 3) (x + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)} - \frac{(x - 3) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{(x + h - 3) (x + 3) - (x - 3) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $\frac{(x + h - 3) (x + 3) - (x - 3) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}$ en forme factorisée.

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Étape 4.1.5.1

Développez $(x + h - 3) (x + 3)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{\frac{x \cdot x + x \cdot 3 + h x + h \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3 - (x - 3) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.2

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot 3 + h x + h \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$ .

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Étape 4.1.5.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot 3$ et $- 3 x$ .

$\frac{\frac{x \cdot x + 3 x + h x + h \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3 - (x - 3) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.2

Soustrayez $3 x$ de $3 x$ .

$\frac{\frac{x \cdot x + h x + h \cdot 3 + 0 - 3 \cdot 3 - (x - 3) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.3

Additionnez $x \cdot x + h x + h \cdot 3$ et $0$ .

$\frac{\frac{x \cdot x + h x + h \cdot 3 - 3 \cdot 3 - (x - 3) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.5.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x + h \cdot 3 - 3 \cdot 3 - (x - 3) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $h$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x + 3 \cdot h - 3 \cdot 3 - (x - 3) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.3.3

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x + 3 h - 9 - (x - 3) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{x^{2} + h x + 3 h - 9 + (- x - - 3) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.5

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x + 3 h - 9 + (- x + 3) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.6

Développez $(- x + 3) (x + h + 3)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{\frac{x^{2} + h x + 3 h - 9 - x \cdot x - x h - x \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.5.7.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.7.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x + 3 h - 9 - (x \cdot x) - x h - x \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.7.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x + 3 h - 9 - x^{2} - x h - x \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.7.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x + 3 h - 9 - x^{2} - x h - 3 x + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.7.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x + 3 h - 9 - x^{2} - x h - 3 x + 3 x + 3 h + 9}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.8

Associez les termes opposés dans $- x^{2} - x h - 3 x + 3 x + 3 h + 9$ .

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Étape 4.1.5.8.1

Additionnez $- 3 x$ et $3 x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x + 3 h - 9 - x^{2} - x h + 0 + 3 h + 9}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.8.2

Additionnez $- x^{2} - x h$ et $0$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x + 3 h - 9 - x^{2} - x h + 3 h + 9}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.9

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{h x + 3 h - 9 + 0 - x h + 3 h + 9}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.10

Additionnez $h x$ et $0$ .

$\frac{\frac{h x + 3 h - 9 - x h + 3 h + 9}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.11

Soustrayez $x h$ de $h x$ .

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Étape 4.1.5.11.1

Remettez dans l’ordre $h$ et $x$ .

$\frac{\frac{3 h - 9 + x h - x h + 3 h + 9}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.11.2

Soustrayez $x h$ de $x h$ .

$\frac{\frac{3 h - 9 + 0 + 3 h + 9}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.12

Additionnez $3 h$ et $0$ .

$\frac{\frac{3 h - 9 + 3 h + 9}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.13

Additionnez $3 h$ et $3 h$ .

$\frac{\frac{6 h - 9 + 9}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.14

Additionnez $- 9$ et $9$ .

$\frac{\frac{6 h + 0}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.15

Additionnez $6 h$ et $0$ .

$\frac{\frac{6 h}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{6 h}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $h$ à partir de $6 h$ .

$\frac{h \cdot 6}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{h \cdot 6}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6}{(x + 3) (x + h + 3)}$

Étape 5