Pré-calcul Exemples

$f (x) = - 2 t^{2} + 4 t + 1$

Étape 1

Écrivez $f (x) = - 2 t^{2} + 4 t + 1$ comme une équation.

$y = - 2 t^{2} + 4 t + 1$

Étape 2

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 2.1

Complétez le carré pour $- 2 t^{2} + 4 t + 1$ .

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Étape 2.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 2$

$b = 4$

$c = 1$

Étape 2.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.1.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.1.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 2$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (- 2)}$

Étape 2.1.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.1.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{2}{- 2}$

Étape 2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $- 2$ .

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Étape 2.1.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$d = \frac{2 (1)}{- 2}$

Étape 2.1.3.2.2.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Étape 2.1.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$d = - 1$

Étape 2.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 2}$

Étape 2.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun à $4^{2}$ et $4$ .

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Étape 2.1.4.2.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4^{2}$ .

$e = 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 2}$

Étape 2.1.4.2.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.4.2.1.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot - 2$ .

$e = 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 (- 2)}$

Étape 2.1.4.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 2}$

Étape 2.1.4.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = 1 - \frac{4}{- 2}$

Étape 2.1.4.2.1.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $- 2$ .

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Étape 2.1.4.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$e = 1 - \frac{2 (2)}{- 2}$

Étape 2.1.4.2.1.2.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2}{- 1}$ .

$e = 1 - (- 1 \cdot 2)$

Étape 2.1.4.2.1.3

Multipliez $- (- 1 \cdot 2)$ .

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Étape 2.1.4.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$e = 1 - - 2$

Étape 2.1.4.2.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$e = 1 + 2$

Étape 2.1.4.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$e = 3$

Étape 2.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 2 {(t - 1)}^{2} + 3$ .

$- 2 {(t - 1)}^{2} + 3$

Étape 2.2

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - 2 {(t - 1)}^{2} + 3$

Étape 3

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(t - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - 2$

$h = 1$

$k = 3$

Étape 4

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers le bas.

ouvre vers le bas

Étape 5

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(1, 3)$

Étape 6

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 6.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 6.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot - 2}$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{1}{- 8}$

Étape 6.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{8}$

Étape 7

Déterminez le foyer.

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Étape 7.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(1, \frac{23}{8})$

Étape 8

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$t = 1$

Étape 9

Déterminez la directrice.

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Étape 9.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = \frac{25}{8}$

Étape 10

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(1, 3)$

Foyer : $(1, \frac{23}{8})$

Axe de symétrie : $t = 1$

Directrice : $y = \frac{25}{8}$

Étape 11