Pré-calcul Exemples

$5 x + y + z = 10$ , $x + y - z = 6$ , $2 x + 4 y + z = 0$

Étape 1

Choisissez deux équations et éliminez une variable. Dans ce cas, éliminez $y$ .

$5 x + y + z = 10$

$x + y - z = 6$

Étape 2

Éliminez $y$ du système.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Multipliez chaque équation par la valeur qui rend les coefficients de $y$ opposés.

$5 x + y + z = 10$

$(- 1) \cdot (x + y - z) = (- 1) (6)$

Étape 2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Simplifiez $(- 1) \cdot (x + y - z)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 x + y + z = 10$

$- 1 x - 1 y - 1 (- z) = (- 1) (6)$

Étape 2.2.1.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.2.1

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$5 x + y + z = 10$

$- x - 1 y - 1 (- z) = (- 1) (6)$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$5 x + y + z = 10$

$- x - y - 1 (- z) = (- 1) (6)$

Étape 2.2.1.1.2.3

Multipliez $- 1 (- z)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$5 x + y + z = 10$

$- x - y + 1 z = (- 1) (6)$

Étape 2.2.1.1.2.3.2

Multipliez $z$ par $1$ .

$5 x + y + z = 10$

$- x - y + z = (- 1) (6)$

$5 x + y + z = 10$

$- x - y + z = (- 1) (6)$

$5 x + y + z = 10$

$- x - y + z = (- 1) (6)$

$5 x + y + z = 10$

$- x - y + z = (- 1) (6)$

$5 x + y + z = 10$

$- x - y + z = (- 1) (6)$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$5 x + y + z = 10$

$- x - y + z = - 6$

$5 x + y + z = 10$

$- x - y + z = - 6$

$5 x + y + z = 10$

$- x - y + z = - 6$

Étape 2.3

Additionnez les deux équations entre elles pour éliminer $y$ du système.

$5$

$x$

$+$

$y$

$+$

$z$

$=$

$1$

$0$

$+$

$-$

$x$

$-$

$y$

$+$

$z$

$=$

$-$

$6$

$4$

$x$

$+$

$2$

$z$

$=$

$4$

Étape 2.4

$y$ est éliminé de l’équation résultante.

$4 x + 2 z = 4$

Étape 3

Choisissez deux autres équations et éliminez $y$ .

$x + y - z = 6$

$2 x + 4 y + z = 0$

Étape 4

Éliminez $y$ du système.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Multipliez chaque équation par la valeur qui rend les coefficients de $y$ opposés.

$(- 4) \cdot (x + y - z) = (- 4) (6)$

$2 x + 4 y + z = 0$

Étape 4.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Simplifiez $(- 4) \cdot (x + y - z)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 x - 4 y - 4 (- z) = (- 4) (6)$

$2 x + 4 y + z = 0$

Étape 4.2.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$- 4 x - 4 y + 4 z = (- 4) (6)$

$2 x + 4 y + z = 0$

$- 4 x - 4 y + 4 z = (- 4) (6)$

$2 x + 4 y + z = 0$

$- 4 x - 4 y + 4 z = (- 4) (6)$

$2 x + 4 y + z = 0$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$- 4 x - 4 y + 4 z = - 24$

$2 x + 4 y + z = 0$

$- 4 x - 4 y + 4 z = - 24$

$2 x + 4 y + z = 0$

$- 4 x - 4 y + 4 z = - 24$

$2 x + 4 y + z = 0$

Étape 4.3

Additionnez les deux équations entre elles pour éliminer $y$ du système.

	$-$	$4$	$x$	$-$	$4$	$y$	$+$	$4$	$z$	$=$	$-$	$2$	$4$
$+$		$2$	$x$	$+$	$4$	$y$	$+$		$z$	$=$			$0$
	$-$	$2$	$x$	$+$				$5$	$z$	$=$	$-$	$2$	$4$

Étape 4.4

$y$ est éliminé de l’équation résultante.

$- 2 x + 5 z = - 24$

Étape 5

Prenez les équations résultantes et éliminez une autre variable. Dans ce cas, éliminez $x$ .

$4 x + 2 z = 4$

$- 2 x + 5 z = - 24$

Étape 6

Éliminez $x$ du système.

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Étape 6.1

Multipliez chaque équation par la valeur qui rend les coefficients de $x$ opposés.

$4 x + 2 z = 4$

$(2) \cdot (- 2 x + 5 z) = (2) (- 24)$

Étape 6.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Simplifiez $(2) \cdot (- 2 x + 5 z)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + 2 z = 4$

$2 (- 2 x) + 2 (5 z) = (2) (- 24)$

Étape 6.2.1.1.2

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1.2.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$4 x + 2 z = 4$

$- 4 x + 2 (5 z) = (2) (- 24)$

Étape 6.2.1.1.2.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$4 x + 2 z = 4$

$- 4 x + 10 z = (2) (- 24)$

$4 x + 2 z = 4$

$- 4 x + 10 z = (2) (- 24)$

$4 x + 2 z = 4$

$- 4 x + 10 z = (2) (- 24)$

$4 x + 2 z = 4$

$- 4 x + 10 z = (2) (- 24)$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Multipliez $2$ par $- 24$ .

$4 x + 2 z = 4$

$- 4 x + 10 z = - 48$

$4 x + 2 z = 4$

$- 4 x + 10 z = - 48$

$4 x + 2 z = 4$

$- 4 x + 10 z = - 48$

Étape 6.3

Additionnez les deux équations entre elles pour éliminer $x$ du système.

		$4$	$x$	$+$		$2$	$z$	$=$			$4$
$+$	$-$	$4$	$x$	$+$	$1$	$0$	$z$	$=$	$-$	$4$	$8$
					$1$	$2$	$z$	$=$	$-$	$4$	$4$

Étape 6.4

$x$ est éliminé de l’équation résultante.

$12 z = - 44$

Étape 6.5

Divisez chaque terme dans $12 z = - 44$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 6.5.1

Divisez chaque terme dans $12 z = - 44$ par $12$ .

$\frac{12 z}{12} = \frac{- 44}{12}$

Étape 6.5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 z}{12} = \frac{- 44}{12}$

Étape 6.5.2.1.2

Divisez $z$ par $1$ .

$z = \frac{- 44}{12}$

Étape 6.5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.3.1

Annulez le facteur commun à $- 44$ et $12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 44$ .

$z = \frac{4 (- 11)}{12}$

Étape 6.5.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$z = \frac{4 \cdot - 11}{4 \cdot 3}$

Étape 6.5.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$z = \frac{4 \cdot - 11}{4 \cdot 3}$

Étape 6.5.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$z = \frac{- 11}{3}$

Étape 6.5.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$z = - \frac{11}{3}$

Étape 7

Remplacez la valeur de $z$ dans une équation avec $y$ déjà éliminé et résolvez pour la variable restante.

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Étape 7.1

Remplacez la valeur de $z$ dans une équation avec $y$ déjà éliminé.

$4 x + 2 (- \frac{11}{3}) = 4$

Étape 7.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Multipliez $2 (- \frac{11}{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 x - 2 (\frac{11}{3}) = 4$

Étape 7.2.1.1.2

Associez $- 2$ et $\frac{11}{3}$ .

$4 x + \frac{- 2 \cdot 11}{3} = 4$

Étape 7.2.1.1.3

Multipliez $- 2$ par $11$ .

$4 x + \frac{- 22}{3} = 4$

Étape 7.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 x - \frac{22}{3} = 4$

Étape 7.2.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Ajoutez $\frac{22}{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = 4 + \frac{22}{3}$

Étape 7.2.2.2

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$4 x = 4 \cdot \frac{3}{3} + \frac{22}{3}$

Étape 7.2.2.3

Associez $4$ et $\frac{3}{3}$ .

$4 x = \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{22}{3}$

Étape 7.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 x = \frac{4 \cdot 3 + 22}{3}$

Étape 7.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.5.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$4 x = \frac{12 + 22}{3}$

Étape 7.2.2.5.2

Additionnez $12$ et $22$ .

$4 x = \frac{34}{3}$

Étape 7.2.3

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{34}{3}$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 7.2.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{34}{3}$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{34}{3}}{4}$

Étape 7.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{34}{3}}{4}$

Étape 7.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{34}{3}}{4}$

Étape 7.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{34}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 7.2.3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $34$ .

$x = \frac{2 (17)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 7.2.3.3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = \frac{2 \cdot 17}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2}$

Étape 7.2.3.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \cdot 17}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2}$

Étape 7.2.3.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{17}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 7.2.3.3.3

Multipliez $\frac{17}{3}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{17}{3 \cdot 2}$

Étape 7.2.3.3.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{17}{6}$

Étape 8

Remplacez la valeur de chaque variable connue dans l’une des équations initiales et résolvez pour la dernière variable.

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Étape 8.1

Remplacez la valeur de chaque variable connue dans l’une des équations initiales.

$5 (\frac{17}{6}) + y - \frac{11}{3} = 10$

Étape 8.2

Résolvez $y$ .

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Étape 8.2.1

Simplifiez $5 (\frac{17}{6}) + y - \frac{11}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Multipliez $5 (\frac{17}{6})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1.1

Associez $5$ et $\frac{17}{6}$ .

$\frac{5 \cdot 17}{6} + y - \frac{11}{3} = 10$

Étape 8.2.1.1.2

Multipliez $5$ par $17$ .

$\frac{85}{6} + y - \frac{11}{3} = 10$

Étape 8.2.1.2

Pour écrire $- \frac{11}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y + \frac{85}{6} - \frac{11}{3} \cdot \frac{2}{2} = 10$

Étape 8.2.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.2.1.3.1

Multipliez $\frac{11}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y + \frac{85}{6} - \frac{11 \cdot 2}{3 \cdot 2} = 10$

Étape 8.2.1.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$y + \frac{85}{6} - \frac{11 \cdot 2}{6} = 10$

Étape 8.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y + \frac{85 - 11 \cdot 2}{6} = 10$

Étape 8.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.1.5.1

Multipliez $- 11$ par $2$ .

$y + \frac{85 - 22}{6} = 10$

Étape 8.2.1.5.2

Soustrayez $22$ de $85$ .

$y + \frac{63}{6} = 10$

Étape 8.2.1.6

Annulez le facteur commun à $63$ et $6$ .

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Étape 8.2.1.6.1

Factorisez $3$ à partir de $63$ .

$y + \frac{3 (21)}{6} = 10$

Étape 8.2.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$y + \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 2} = 10$

Étape 8.2.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 2} = 10$

Étape 8.2.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + \frac{21}{2} = 10$

Étape 8.2.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 8.2.2.1

Soustrayez $\frac{21}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$y = 10 - \frac{21}{2}$

Étape 8.2.2.2

Pour écrire $10$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = 10 \cdot \frac{2}{2} - \frac{21}{2}$

Étape 8.2.2.3

Associez $10$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{10 \cdot 2}{2} - \frac{21}{2}$

Étape 8.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{10 \cdot 2 - 21}{2}$

Étape 8.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.2.5.1

Multipliez $10$ par $2$ .

$y = \frac{20 - 21}{2}$

Étape 8.2.2.5.2

Soustrayez $21$ de $20$ .

$y = \frac{- 1}{2}$

Étape 8.2.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1}{2}$

Étape 9

La solution du système d’équations peut être représentée sous la forme d’un point.

$(\frac{17}{6}, - \frac{1}{2}, - \frac{11}{3})$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme du point :

$(\frac{17}{6}, - \frac{1}{2}, - \frac{11}{3})$

Forme de l’équation :

$x = \frac{17}{6}, y = - \frac{1}{2}, z = - \frac{11}{3}$

	$-$	$4$	$x$	$-$	$4$	$y$	$+$	$4$	$z$	$=$	$-$	$2$	$4$
$+$		$2$	$x$	$+$	$4$	$y$	$+$		$z$	$=$			$0$
	$-$	$2$	$x$	$+$				$5$	$z$	$=$	$-$	$2$	$4$

		$4$	$x$	$+$		$2$	$z$	$=$			$4$
$+$	$-$	$4$	$x$	$+$	$1$	$0$	$z$	$=$	$-$	$4$	$8$
					$1$	$2$	$z$	$=$	$-$	$4$	$4$

	$-$	$4$	$x$	$-$	$4$	$y$	$+$	$4$	$z$	$=$	$-$	$2$	$4$
$+$		$2$	$x$	$+$	$4$	$y$	$+$		$z$	$=$			$0$
	$-$	$2$	$x$	$+$				$5$	$z$	$=$	$-$	$2$	$4$

		$4$	$x$	$+$		$2$	$z$	$=$			$4$
$+$	$-$	$4$	$x$	$+$	$1$	$0$	$z$	$=$	$-$	$4$	$8$
					$1$	$2$	$z$	$=$	$-$	$4$	$4$

	$-$	$4$	$x$	$-$	$4$	$y$	$+$	$4$	$z$	$=$	$-$	$2$	$4$
$+$		$2$	$x$	$+$	$4$	$y$	$+$		$z$	$=$			$0$
	$-$	$2$	$x$	$+$				$5$	$z$	$=$	$-$	$2$	$4$

		$4$	$x$	$+$		$2$	$z$	$=$			$4$
$+$	$-$	$4$	$x$	$+$	$1$	$0$	$z$	$=$	$-$	$4$	$8$
					$1$	$2$	$z$	$=$	$-$	$4$	$4$