Pré-calcul Exemples

$x^{4} + y^{3} = 264$ , $3 x^{4} + 5 y^{3} = 808$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Remettez dans l’ordre $x^{4}$ et $y^{3}$ .

$y^{3} + x^{4} = 264$

$3 x^{4} + 5 y^{3} = 808$

$y^{3} + x^{4} = 264$

$3 x^{4} + 5 y^{3} = 808$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Remettez dans l’ordre $3 x^{4}$ et $5 y^{3}$ .

$5 y^{3} + 3 x^{4} = 808$

$y^{3} + x^{4} = 264$

$5 y^{3} + 3 x^{4} = 808$

$y^{3} + x^{4} = 264$

Étape 3

Multipliez chaque équation par la valeur qui rend les coefficients de $x^{4}$ opposés.

$- 3 \cdot (y^{3} + x^{4}) = (- 3) (264)$

$5 y^{3} + 3 x^{4} = 808$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 y^{3} - 3 x^{4} = (- 3) (264)$

$5 y^{3} + 3 x^{4} = 808$

$- 3 y^{3} - 3 x^{4} = (- 3) (264)$

$5 y^{3} + 3 x^{4} = 808$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Multipliez $- 3$ par $264$ .

$- 3 y^{3} - 3 x^{4} = - 792$

$5 y^{3} + 3 x^{4} = 808$

$- 3 y^{3} - 3 x^{4} = - 792$

$5 y^{3} + 3 x^{4} = 808$

$- 3 y^{3} - 3 x^{4} = - 792$

$5 y^{3} + 3 x^{4} = 808$

Étape 5

Additionnez les deux équations entre elles pour éliminer $x^{4}$ du système.

	$-$	$3$	$y^{3}$	$-$	$3$	$x^{4}$	$=$	$-$	$7$	$9$	$2$
$+$		$5$	$y^{3}$	$+$	$3$	$x^{4}$	$=$		$8$	$0$	$8$
		$2$	$y^{3}$				$=$			$1$	$6$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $2 y^{3} = 16$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $2 y^{3} = 16$ par $2$ .

$\frac{2 y^{3}}{2} = \frac{16}{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y^{3}}{2} = \frac{16}{2}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $y^{3}$ par $1$ .

$y^{3} = \frac{16}{2}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Divisez $16$ par $2$ .

$y^{3} = 8$

Étape 7

Remplacez la valeur trouvée pour $y^{3}$ dans l’une des équations d’origine, puis résolvez $x^{4}$ .

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Étape 7.1

Remplacez la valeur trouvée pour $y^{3}$ dans l’une des équations d’origine pour résoudre $x^{4}$ .

$- 3 \cdot 8 - 3 x^{4} = - 792$

Étape 7.2

Multipliez $- 3$ par $8$ .

$- 24 - 3 x^{4} = - 792$

Étape 7.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x^{4}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.3.1

Ajoutez $24$ aux deux côtés de l’équation.

$- 3 x^{4} = - 792 + 24$

Étape 7.3.2

Additionnez $- 792$ et $24$ .

$- 3 x^{4} = - 768$

Étape 7.4

Divisez chaque terme dans $- 3 x^{4} = - 768$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 7.4.1

Divisez chaque terme dans $- 3 x^{4} = - 768$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{4}}{- 3} = \frac{- 768}{- 3}$

Étape 7.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 x^{4}}{- 3} = \frac{- 768}{- 3}$

Étape 7.4.2.1.2

Divisez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{4} = \frac{- 768}{- 3}$

Étape 7.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.4.3.1

Divisez $- 768$ par $- 3$ .

$x^{4} = 256$

Étape 8

C’est la solution finale au système d’équations indépendant.

$y^{3} = 8$

$x^{4} = 256$

Étape 9

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$y^{3} - 8 = 0$

$x^{4} = 256$

Étape 10

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 10.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$y^{3} - 2^{3} = 0$

$x^{4} = 256$

Étape 10.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = y$ et $b = 2$ .

$(y - 2) (y^{2} + y \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

$x^{4} = 256$

Étape 10.3

Simplifiez

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Étape 10.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$(y - 2) (y^{2} + 2 \cdot y + 2^{2}) = 0$

$x^{4} = 256$

Étape 10.3.2

Multipliez $2$ par $y$ .

$(y - 2) (y^{2} + 2 y + 2^{2}) = 0$

$x^{4} = 256$

Étape 10.3.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) = 0$

$x^{4} = 256$

$(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) = 0$

$x^{4} = 256$

$(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) = 0$

$x^{4} = 256$

Étape 11

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y - 2 = 0$

$y^{2} + 2 y + 4 = 0$

$x^{4} = 256$

Étape 12

Définissez $y - 2$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 12.1

Définissez $y - 2$ égal à $0$ .

$y - 2 = 0$

$x^{4} = 256$

Étape 12.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 2$

$x^{4} = 256$

$y = 2$

$x^{4} = 256$

Étape 13

Définissez $y^{2} + 2 y + 4$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 13.1

Définissez $y^{2} + 2 y + 4$ égal à $0$ .

$y^{2} + 2 y + 4 = 0$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2

Résolvez $y^{2} + 2 y + 4 = 0$ pour $y$ .

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Étape 13.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 2$ et $c = 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.3

Simplifiez

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Étape 13.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.2.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 13.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.3.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.3.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.3.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 13.2.3.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.3.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.3.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 13.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.2.4.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 13.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.4.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.4.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.4.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 13.2.4.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.4.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.4.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = - 1 + i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

$y = - 1 + i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 13.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.2.5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 13.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.5.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.5.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.5.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 13.2.5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.5.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.5.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = - 1 - i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

$y = - 1 - i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

Étape 13.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

$y = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

$y = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

Étape 14

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) = 0$ vraie.

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

Étape 15

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{256}$

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 16

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{256}$ .

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Étape 16.1

Réécrivez $256$ comme $4^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{4^{4}}$

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 16.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 4$

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

$x = \pm 4$

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 17

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 17.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 4$

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 17.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 4$

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 17.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 4, - 4$

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

$x = 4, - 4$

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 18

Le résultat final est la combinaison de toutes les valeurs de $x$ avec toutes les valeurs de $y$ .

$(4, 2), (4, - 1 + i \sqrt{3}), (4, - 1 - i \sqrt{3}), (- 4, 2), (- 4, - 1 + i \sqrt{3}), (- 4, - 1 - i \sqrt{3})$

Étape 19