Pré-calcul Exemples

$x y - x^{2} = - 20$ , $x - 2 y = 3$

Étape 1

Ajoutez $2 y$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3 + 2 y$

$x y - x^{2} = - 20$

Étape 2

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $3 + 2 y$ dans chaque équation.

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Étape 2.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $x y - x^{2} = - 20$ par $3 + 2 y$ .

$(3 + 2 y) \cdot y - {(3 + 2 y)}^{2} = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $(3 + 2 y) \cdot y - {(3 + 2 y)}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 y + 2 y \cdot y - {(3 + 2 y)}^{2} = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Étape 2.2.1.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.1.2.1

Déplacez $y$ .

$3 y + 2 (y \cdot y) - {(3 + 2 y)}^{2} = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Étape 2.2.1.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$3 y + 2 y^{2} - {(3 + 2 y)}^{2} = - 20$

$x = 3 + 2 y$

$3 y + 2 y^{2} - {(3 + 2 y)}^{2} = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Étape 2.2.1.1.3

Réécrivez ${(3 + 2 y)}^{2}$ comme $(3 + 2 y) (3 + 2 y)$ .

$3 y + 2 y^{2} - ((3 + 2 y) (3 + 2 y)) = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Étape 2.2.1.1.4

Développez $(3 + 2 y) (3 + 2 y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 y + 2 y^{2} - (3 (3 + 2 y) + 2 y (3 + 2 y)) = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Étape 2.2.1.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 y + 2 y^{2} - (3 \cdot 3 + 3 (2 y) + 2 y (3 + 2 y)) = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Étape 2.2.1.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 y + 2 y^{2} - (3 \cdot 3 + 3 (2 y) + 2 y \cdot 3 + 2 y (2 y)) = - 20$

$x = 3 + 2 y$

$3 y + 2 y^{2} - (3 \cdot 3 + 3 (2 y) + 2 y \cdot 3 + 2 y (2 y)) = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Étape 2.2.1.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.1.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.5.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$3 y + 2 y^{2} - (9 + 3 (2 y) + 2 y \cdot 3 + 2 y (2 y)) = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Étape 2.2.1.1.5.1.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$3 y + 2 y^{2} - (9 + 6 y + 2 y \cdot 3 + 2 y (2 y)) = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Étape 2.2.1.1.5.1.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$3 y + 2 y^{2} - (9 + 6 y + 6 y + 2 y (2 y)) = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Étape 2.2.1.1.5.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 y + 2 y^{2} - (9 + 6 y + 6 y + 2 \cdot (2 y \cdot y)) = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Étape 2.2.1.1.5.1.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.1.5.1.5.1

Déplacez $y$ .

$3 y + 2 y^{2} - (9 + 6 y + 6 y + 2 \cdot (2 (y \cdot y))) = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Étape 2.2.1.1.5.1.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$3 y + 2 y^{2} - (9 + 6 y + 6 y + 2 \cdot (2 y^{2})) = - 20$

$x = 3 + 2 y$

$3 y + 2 y^{2} - (9 + 6 y + 6 y + 2 \cdot (2 y^{2})) = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Étape 2.2.1.1.5.1.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$3 y + 2 y^{2} - (9 + 6 y + 6 y + 4 y^{2}) = - 20$

$x = 3 + 2 y$

$3 y + 2 y^{2} - (9 + 6 y + 6 y + 4 y^{2}) = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Étape 2.2.1.1.5.2

Additionnez $6 y$ et $6 y$ .

$3 y + 2 y^{2} - (9 + 12 y + 4 y^{2}) = - 20$

$x = 3 + 2 y$

$3 y + 2 y^{2} - (9 + 12 y + 4 y^{2}) = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Étape 2.2.1.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$3 y + 2 y^{2} - 1 \cdot 9 - (12 y) - (4 y^{2}) = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Étape 2.2.1.1.7

Simplifiez

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Étape 2.2.1.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$3 y + 2 y^{2} - 9 - (12 y) - (4 y^{2}) = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Étape 2.2.1.1.7.2

Multipliez $12$ par $- 1$ .

$3 y + 2 y^{2} - 9 - 12 y - (4 y^{2}) = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Étape 2.2.1.1.7.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$3 y + 2 y^{2} - 9 - 12 y - 4 y^{2} = - 20$

$x = 3 + 2 y$

$3 y + 2 y^{2} - 9 - 12 y - 4 y^{2} = - 20$

$x = 3 + 2 y$

$3 y + 2 y^{2} - 9 - 12 y - 4 y^{2} = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1.2.1

Soustrayez $12 y$ de $3 y$ .

$- 9 y + 2 y^{2} - 9 - 4 y^{2} = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Étape 2.2.1.2.2

Soustrayez $4 y^{2}$ de $2 y^{2}$ .

$- 9 y - 2 y^{2} - 9 = - 20$

$x = 3 + 2 y$

$- 9 y - 2 y^{2} - 9 = - 20$

$x = 3 + 2 y$

$- 9 y - 2 y^{2} - 9 = - 20$

$x = 3 + 2 y$

$- 9 y - 2 y^{2} - 9 = - 20$

$x = 3 + 2 y$

$- 9 y - 2 y^{2} - 9 = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Étape 3

Résolvez $y$ dans $- 9 y - 2 y^{2} - 9 = - 20$ .

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Étape 3.1

Ajoutez $20$ aux deux côtés de l’équation.

$- 9 y - 2 y^{2} - 9 + 20 = 0$

$x = 3 + 2 y$

Étape 3.2

Additionnez $- 9$ et $20$ .

$- 9 y - 2 y^{2} + 11 = 0$

$x = 3 + 2 y$

Étape 3.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 9 y - 2 y^{2} + 11$ .

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Étape 3.3.1.1

Remettez dans l’ordre $- 9 y$ et $- 2 y^{2}$ .

$- 2 y^{2} - 9 y + 11 = 0$

$x = 3 + 2 y$

Étape 3.3.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 y^{2}$ .

$- (2 y^{2}) - 9 y + 11 = 0$

$x = 3 + 2 y$

Étape 3.3.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 9 y$ .

$- (2 y^{2}) - (9 y) + 11 = 0$

$x = 3 + 2 y$

Étape 3.3.1.4

Réécrivez $11$ comme $- 1 (- 11)$ .

$- (2 y^{2}) - (9 y) - 1 \cdot - 11 = 0$

$x = 3 + 2 y$

Étape 3.3.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 y^{2}) - (9 y)$ .

$- (2 y^{2} + 9 y) - 1 \cdot - 11 = 0$

$x = 3 + 2 y$

Étape 3.3.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 y^{2} + 9 y) - 1 (- 11)$ .

$- (2 y^{2} + 9 y - 11) = 0$

$x = 3 + 2 y$

$- (2 y^{2} + 9 y - 11) = 0$

$x = 3 + 2 y$

Étape 3.3.2

Factorisez.

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Étape 3.3.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.3.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 11 = - 22$ et dont la somme est $b = 9$ .

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Étape 3.3.2.1.1.1

Factorisez $9$ à partir de $9 y$ .

$- (2 y^{2} + 9 (y) - 11) = 0$

$x = 3 + 2 y$

Étape 3.3.2.1.1.2

Réécrivez $9$ comme $- 2$ plus $11$

$- (2 y^{2} + (- 2 + 11) y - 11) = 0$

$x = 3 + 2 y$

Étape 3.3.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (2 y^{2} - 2 y + 11 y - 11) = 0$

$x = 3 + 2 y$

$- (2 y^{2} - 2 y + 11 y - 11) = 0$

$x = 3 + 2 y$

Étape 3.3.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.3.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- ((2 y^{2} - 2 y) + 11 y - 11) = 0$

$x = 3 + 2 y$

Étape 3.3.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- (2 y (y - 1) + 11 (y - 1)) = 0$

$x = 3 + 2 y$

$- (2 y (y - 1) + 11 (y - 1)) = 0$

$x = 3 + 2 y$

Étape 3.3.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $y - 1$ .

$- ((y - 1) (2 y + 11)) = 0$

$x = 3 + 2 y$

$- ((y - 1) (2 y + 11)) = 0$

$x = 3 + 2 y$

Étape 3.3.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (y - 1) (2 y + 11) = 0$

$x = 3 + 2 y$

$- (y - 1) (2 y + 11) = 0$

$x = 3 + 2 y$

$- (y - 1) (2 y + 11) = 0$

$x = 3 + 2 y$

Étape 3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y - 1 = 0$

$2 y + 11 = 0$

$x = 3 + 2 y$

Étape 3.5

Définissez $y - 1$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $y - 1$ égal à $0$ .

$y - 1 = 0$

$x = 3 + 2 y$

Étape 3.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 1$

$x = 3 + 2 y$

$y = 1$

$x = 3 + 2 y$

Étape 3.6

Définissez $2 y + 11$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $2 y + 11$ égal à $0$ .

$2 y + 11 = 0$

$x = 3 + 2 y$

Étape 3.6.2

Résolvez $2 y + 11 = 0$ pour $y$ .

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Étape 3.6.2.1

Soustrayez $11$ des deux côtés de l’équation.

$2 y = - 11$

$x = 3 + 2 y$

Étape 3.6.2.2

Divisez chaque terme dans $2 y = - 11$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 y = - 11$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 11}{2}$

$x = 3 + 2 y$

Étape 3.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 11}{2}$

$x = 3 + 2 y$

Étape 3.6.2.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 11}{2}$

$x = 3 + 2 y$

$y = \frac{- 11}{2}$

$x = 3 + 2 y$

$y = \frac{- 11}{2}$

$x = 3 + 2 y$

Étape 3.6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.6.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{11}{2}$

$x = 3 + 2 y$

$y = - \frac{11}{2}$

$x = 3 + 2 y$

$y = - \frac{11}{2}$

$x = 3 + 2 y$

$y = - \frac{11}{2}$

$x = 3 + 2 y$

$y = - \frac{11}{2}$

$x = 3 + 2 y$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (y - 1) (2 y + 11) = 0$ vraie.

$y = 1, - \frac{11}{2}$

$x = 3 + 2 y$

$y = 1, - \frac{11}{2}$

$x = 3 + 2 y$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $1$ dans chaque équation.

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Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = 3 + 2 y$ par $1$ .

$x = 3 + 2 (1)$

$y = 1$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $3 + 2 (1)$ .

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = 3 + 2$

$y = 1$

Étape 4.2.1.2

Additionnez $3$ et $2$ .

$x = 5$

$y = 1$

$x = 5$

$y = 1$

$x = 5$

$y = 1$

$x = 5$

$y = 1$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $- \frac{11}{2}$ dans chaque équation.

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Étape 5.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = 3 + 2 y$ par $- \frac{11}{2}$ .

$x = 3 + 2 (- \frac{11}{2})$

$y = - \frac{11}{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $3 + 2 (- \frac{11}{2})$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{11}{2}$ dans le numérateur.

$x = 3 + 2 (\frac{- 11}{2})$

$y = - \frac{11}{2}$

Étape 5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = 3 + 2 (\frac{- 11}{2})$

$y = - \frac{11}{2}$

Étape 5.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = 3 - 11$

$y = - \frac{11}{2}$

$x = 3 - 11$

$y = - \frac{11}{2}$

Étape 5.2.1.2

Soustrayez $11$ de $3$ .

$x = - 8$

$y = - \frac{11}{2}$

$x = - 8$

$y = - \frac{11}{2}$

$x = - 8$

$y = - \frac{11}{2}$

$x = - 8$

$y = - \frac{11}{2}$

Étape 6

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(5, 1)$

$(- 8, - \frac{11}{2})$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme du point :

$(5, 1), (- 8, - \frac{11}{2})$

Forme de l’équation :

$x = 5, y = 1$

$x = - 8, y = - \frac{11}{2}$

Étape 8