Pré-calcul Exemples

$y = x^{2} - 3 x - 4$ , $y = 5 x + 11$

Étape 1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$x^{2} - 3 x - 4 = 5 x + 11$

Étape 2

Résolvez $x^{2} - 3 x - 4 = 5 x + 11$ pour $x$ .

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Étape 2.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Soustrayez $5 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 3 x - 4 - 5 x = 11$

Étape 2.1.2

Soustrayez $5 x$ de $- 3 x$ .

$x^{2} - 8 x - 4 = 11$

Étape 2.2

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Soustrayez $11$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 8 x - 4 - 11 = 0$

Étape 2.2.2

Soustrayez $11$ de $- 4$ .

$x^{2} - 8 x - 15 = 0$

Étape 2.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 5 x + 11$

Étape 2.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 8$ et $c = - 15$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 15)}}{2 \cdot 1} + y = 5 x + 11$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 15$ .

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Étape 2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 15$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 60}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.3

Additionnez $64$ et $60$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{124}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.4

Réécrivez $124$ comme $2^{2} \cdot 31$ .

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Étape 2.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $124$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (31)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{2}$

Étape 2.5.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{31}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 15$ .

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Étape 2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 15$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 60}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.3

Additionnez $64$ et $60$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{124}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.4

Réécrivez $124$ comme $2^{2} \cdot 31$ .

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Étape 2.6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $124$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (31)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{2}$

Étape 2.6.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{31}$

Étape 2.6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 4 + \sqrt{31}$

Étape 2.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 15$ .

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Étape 2.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 15$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 60}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.1.3

Additionnez $64$ et $60$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{124}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.1.4

Réécrivez $124$ comme $2^{2} \cdot 31$ .

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Étape 2.7.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $124$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (31)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{2}$

Étape 2.7.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{31}$

Étape 2.7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 4 - \sqrt{31}$

Étape 2.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 4 + \sqrt{31}, 4 - \sqrt{31}$

Étape 3

Évaluez $y$ quand $x = 4 + \sqrt{31}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $x$ par $4 + \sqrt{31}$ .

$y = 5 (4 + \sqrt{31}) + 11$

Étape 3.2

Simplifiez $5 (4 + \sqrt{31}) + 11$ .

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 5 \cdot 4 + 5 \sqrt{31} + 11$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $5$ par $4$ .

$y = 20 + 5 \sqrt{31} + 11$

Étape 3.2.2

Additionnez $20$ et $11$ .

$y = 31 + 5 \sqrt{31}$

Étape 4

Évaluez $y$ quand $x = 4 - \sqrt{31}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $x$ par $4 - \sqrt{31}$ .

$y = 5 (4 - \sqrt{31}) + 11$

Étape 4.2

Simplifiez $5 (4 - \sqrt{31}) + 11$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 5 \cdot 4 + 5 (- \sqrt{31}) + 11$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $5$ par $4$ .

$y = 20 + 5 (- \sqrt{31}) + 11$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$y = 20 - 5 \sqrt{31} + 11$

Étape 4.2.2

Additionnez $20$ et $11$ .

$y = 31 - 5 \sqrt{31}$

Étape 5

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(4 + \sqrt{31}, 31 + 5 \sqrt{31})$

$(4 - \sqrt{31}, 31 - 5 \sqrt{31})$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme du point :

$(4 + \sqrt{31}, 31 + 5 \sqrt{31}), (4 - \sqrt{31}, 31 - 5 \sqrt{31})$

Forme de l’équation :

$x = 4 + \sqrt{31}, y = 31 + 5 \sqrt{31}$

$x = 4 - \sqrt{31}, y = 31 - 5 \sqrt{31}$

Étape 7