Pré-calcul Exemples

$y = x^{2} - 13$ , $x^{2} + y^{2} = 25$

Étape 1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $x^{2} - 13$ dans chaque équation.

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Étape 1.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x^{2} + y^{2} = 25$ par $x^{2} - 13$ .

$x^{2} + {(x^{2} - 13)}^{2} = 25$

$y = x^{2} - 13$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Simplifiez $x^{2} + {(x^{2} - 13)}^{2}$ .

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Étape 1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.1

Réécrivez ${(x^{2} - 13)}^{2}$ comme $(x^{2} - 13) (x^{2} - 13)$ .

$x^{2} + (x^{2} - 13) (x^{2} - 13) = 25$

$y = x^{2} - 13$

Étape 1.2.1.1.2

Développez $(x^{2} - 13) (x^{2} - 13)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + x^{2} (x^{2} - 13) - 13 (x^{2} - 13) = 25$

$y = x^{2} - 13$

Étape 1.2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 13 - 13 (x^{2} - 13) = 25$

$y = x^{2} - 13$

Étape 1.2.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 13 - 13 x^{2} - 13 \cdot - 13 = 25$

$y = x^{2} - 13$

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 13 - 13 x^{2} - 13 \cdot - 13 = 25$

$y = x^{2} - 13$

Étape 1.2.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1.1.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2} + x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 13 - 13 x^{2} - 13 \cdot - 13 = 25$

$y = x^{2} - 13$

Étape 1.2.1.1.3.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$x^{2} + x^{4} + x^{2} \cdot - 13 - 13 x^{2} - 13 \cdot - 13 = 25$

$y = x^{2} - 13$

$x^{2} + x^{4} + x^{2} \cdot - 13 - 13 x^{2} - 13 \cdot - 13 = 25$

$y = x^{2} - 13$

Étape 1.2.1.1.3.1.2

Déplacez $- 13$ à gauche de $x^{2}$ .

$x^{2} + x^{4} - 13 \cdot x^{2} - 13 x^{2} - 13 \cdot - 13 = 25$

$y = x^{2} - 13$

Étape 1.2.1.1.3.1.3

Multipliez $- 13$ par $- 13$ .

$x^{2} + x^{4} - 13 x^{2} - 13 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

$x^{2} + x^{4} - 13 x^{2} - 13 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

Étape 1.2.1.1.3.2

Soustrayez $13 x^{2}$ de $- 13 x^{2}$ .

$x^{2} + x^{4} - 26 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

$x^{2} + x^{4} - 26 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

$x^{2} + x^{4} - 26 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

Étape 1.2.1.2

Soustrayez $26 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$x^{4} - 25 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

$x^{4} - 25 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

$x^{4} - 25 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

$x^{4} - 25 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

Étape 2

Résolvez $x$ dans $x^{4} - 25 x^{2} + 169 = 25$ .

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Étape 2.1

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$u^{2} - 25 u + 169 = 25$

$u = x^{2}$

$y = x^{2} - 13$

Étape 2.2

Soustrayez $25$ des deux côtés de l’équation.

$u^{2} - 25 u + 169 - 25 = 0$

$y = x^{2} - 13$

Étape 2.3

Soustrayez $25$ de $169$ .

$u^{2} - 25 u + 144 = 0$

$y = x^{2} - 13$

Étape 2.4

Factorisez $u^{2} - 25 u + 144$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $144$ et dont la somme est $- 25$ .

$- 16, - 9$

$y = x^{2} - 13$

Étape 2.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 16) (u - 9) = 0$

$y = x^{2} - 13$

$(u - 16) (u - 9) = 0$

$y = x^{2} - 13$

Étape 2.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 16 = 0$

$u - 9 = 0$

$y = x^{2} - 13$

Étape 2.6

Définissez $u - 16$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $u - 16$ égal à $0$ .

$u - 16 = 0$

$y = x^{2} - 13$

Étape 2.6.2

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 16$

$y = x^{2} - 13$

$u = 16$

$y = x^{2} - 13$

Étape 2.7

Définissez $u - 9$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 2.7.1

Définissez $u - 9$ égal à $0$ .

$u - 9 = 0$

$y = x^{2} - 13$

Étape 2.7.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 9$

$y = x^{2} - 13$

$u = 9$

$y = x^{2} - 13$

Étape 2.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 16) (u - 9) = 0$ vraie.

$u = 16, 9$

$y = x^{2} - 13$

Étape 2.9

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = 16$

$x^{2} = 9$

$y = x^{2} - 13$

Étape 2.10

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = 16$

$y = x^{2} - 13$

Étape 2.11

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

$y = x^{2} - 13$

Étape 2.11.2

Simplifiez $\pm \sqrt{16}$ .

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Étape 2.11.2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

$y = x^{2} - 13$

Étape 2.11.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 4$

$y = x^{2} - 13$

$x = \pm 4$

$y = x^{2} - 13$

Étape 2.11.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.11.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 4$

$y = x^{2} - 13$

Étape 2.11.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 4$

$y = x^{2} - 13$

Étape 2.11.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 4, - 4$

$y = x^{2} - 13$

$x = 4, - 4$

$y = x^{2} - 13$

$x = 4, - 4$

$y = x^{2} - 13$

Étape 2.12

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

$x^{2} = 9$

$y = x^{2} - 13$

Étape 2.13

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.13.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = 9$

$y = x^{2} - 13$

Étape 2.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

$y = x^{2} - 13$

Étape 2.13.3

Simplifiez $\pm \sqrt{9}$ .

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Étape 2.13.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

$y = x^{2} - 13$

Étape 2.13.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 3$

$y = x^{2} - 13$

$x = \pm 3$

$y = x^{2} - 13$

Étape 2.13.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.13.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3$

$y = x^{2} - 13$

Étape 2.13.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3$

$y = x^{2} - 13$

Étape 2.13.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3, - 3$

$y = x^{2} - 13$

$x = 3, - 3$

$y = x^{2} - 13$

$x = 3, - 3$

$y = x^{2} - 13$

Étape 2.14

La solution à $x^{4} - 25 x^{2} + 169 = 25$ est $x = 4, - 4, 3, - 3$ .

$x = 4, - 4, 3, - 3$

$y = x^{2} - 13$

$x = 4, - 4, 3, - 3$

$y = x^{2} - 13$

Étape 3

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $4$ dans chaque équation.

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Étape 3.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = x^{2} - 13$ par $4$ .

$y = {(4)}^{2} - 13$

$x = 4$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${(4)}^{2} - 13$ .

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Étape 3.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y = 16 - 13$

$x = 4$

Étape 3.2.1.2

Soustrayez $13$ de $16$ .

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $- 4$ dans chaque équation.

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Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = x^{2} - 13$ par $- 4$ .

$y = {(- 4)}^{2} - 13$

$x = - 4$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Simplifiez ${(- 4)}^{2} - 13$ .

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Étape 4.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$y = 16 - 13$

$x = - 4$

Étape 4.2.1.2

Soustrayez $13$ de $16$ .

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $4$ dans chaque équation.

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Étape 5.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = x^{2} - 13$ par $4$ .

$y = {(4)}^{2} - 13$

$x = 4$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez ${(4)}^{2} - 13$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y = 16 - 13$

$x = 4$

Étape 5.2.1.2

Soustrayez $13$ de $16$ .

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $- 4$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = x^{2} - 13$ par $- 4$ .

$y = {(- 4)}^{2} - 13$

$x = - 4$

Étape 6.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez ${(- 4)}^{2} - 13$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$y = 16 - 13$

$x = - 4$

Étape 6.2.1.2

Soustrayez $13$ de $16$ .

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $3$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = x^{2} - 13$ par $3$ .

$y = {(3)}^{2} - 13$

$x = 3$

Étape 7.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez ${(3)}^{2} - 13$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$y = 9 - 13$

$x = 3$

Étape 7.2.1.2

Soustrayez $13$ de $9$ .

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $4$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = x^{2} - 13$ par $4$ .

$y = {(4)}^{2} - 13$

$x = 4$

Étape 8.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Simplifiez ${(4)}^{2} - 13$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y = 16 - 13$

$x = 4$

Étape 8.2.1.2

Soustrayez $13$ de $16$ .

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $- 4$ dans chaque équation.

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Étape 9.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = x^{2} - 13$ par $- 4$ .

$y = {(- 4)}^{2} - 13$

$x = - 4$

Étape 9.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Simplifiez ${(- 4)}^{2} - 13$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$y = 16 - 13$

$x = - 4$

Étape 9.2.1.2

Soustrayez $13$ de $16$ .

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $3$ dans chaque équation.

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Étape 10.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = x^{2} - 13$ par $3$ .

$y = {(3)}^{2} - 13$

$x = 3$

Étape 10.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1

Simplifiez ${(3)}^{2} - 13$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$y = 9 - 13$

$x = 3$

Étape 10.2.1.2

Soustrayez $13$ de $9$ .

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $- 3$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = x^{2} - 13$ par $- 3$ .

$y = {(- 3)}^{2} - 13$

$x = - 3$

Étape 11.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Simplifiez ${(- 3)}^{2} - 13$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$y = 9 - 13$

$x = - 3$

Étape 11.2.1.2

Soustrayez $13$ de $9$ .

$y = - 4$

$x = - 3$

$y = - 4$

$x = - 3$

$y = - 4$

$x = - 3$

$y = - 4$

$x = - 3$

Étape 12

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(4, 3)$

$(- 4, 3)$

$(3, - 4)$

$(- 3, - 4)$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme du point :

$(4, 3), (- 4, 3), (3, - 4), (- 3, - 4)$

Forme de l’équation :

$x = 4, y = 3$

$x = - 4, y = 3$

$x = 3, y = - 4$

$x = - 3, y = - 4$

Étape 14