Pré-calcul Exemples

$x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$ , $x^{2} - y^{2} = - 28$

Étape 1

Résolvez $x$ dans $x^{2} - y^{2} = - 28$ .

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Étape 1.1

Ajoutez $y^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 28 + y^{2}$

$x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$

Étape 1.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$

Étape 1.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$

Étape 1.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$

Étape 1.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$

Étape 2

Résolvez le système $x = \sqrt{- 28 + y^{2}}, x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$ .

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Étape 2.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $\sqrt{- 28 + y^{2}}$ dans chaque équation.

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Étape 2.1.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$ par $\sqrt{- 28 + y^{2}}$ .

${(\sqrt{- 28 + y^{2}})}^{2} + 2 (\sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez ${(\sqrt{- 28 + y^{2}})}^{2} + 2 (\sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2}$ .

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Étape 2.1.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{- 28 + y^{2}}}^{2}$ comme $- 28 + y^{2}$ .

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Étape 2.1.2.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{- 28 + y^{2}}$ comme ${(- 28 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- 28 + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 (\sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Étape 2.1.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 28 + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 (\sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Étape 2.1.2.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

${(- 28 + y^{2})}^{\frac{2}{2}} + 2 (\sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Étape 2.1.2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.2.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

${(- 28 + y^{2})}^{\frac{2}{2}} + 2 (\sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Étape 2.1.2.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$(- 28 + y^{2}) + 2 (\sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$(- 28 + y^{2}) + 2 (\sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Étape 2.1.2.1.1.5

Simplifiez

$- 28 + y^{2} + 2 (\sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$- 28 + y^{2} + 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Étape 2.1.2.1.2

Associez les termes opposés dans $- 28 + y^{2} + 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y - y^{2}$ .

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Étape 2.1.2.1.2.1

Soustrayez $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$- 28 + 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y + 0 = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Étape 2.1.2.1.2.2

Additionnez $- 28 + 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y$ et $0$ .

$- 28 + 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$- 28 + 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$- 28 + 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$- 28 + 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$- 28 + 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Étape 2.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$y = 8$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $8$ dans chaque équation.

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Étape 2.3.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$ par $8$ .

$x = \sqrt{- 28 + {(8)}^{2}}$

$y = 8$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez $\sqrt{- 28 + {(8)}^{2}}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$x = \sqrt{- 28 + 64}$

$y = 8$

Étape 2.3.2.1.2

Additionnez $- 28$ et $64$ .

$x = \sqrt{36}$

$y = 8$

Étape 2.3.2.1.3

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$x = \sqrt{6^{2}}$

$y = 8$

Étape 2.3.2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = 6$

$y = 8$

$x = 6$

$y = 8$

$x = 6$

$y = 8$

$x = 6$

$y = 8$

$x = 6$

$y = 8$

Étape 3

Résolvez le système $x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}, x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$ .

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Étape 3.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $- \sqrt{- 28 + y^{2}}$ dans chaque équation.

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Étape 3.1.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$ par $- \sqrt{- 28 + y^{2}}$ .

${(- \sqrt{- 28 + y^{2}})}^{2} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

Simplifiez ${(- \sqrt{- 28 + y^{2}})}^{2} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2}$ .

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Étape 3.1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{- 28 + y^{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {\sqrt{- 28 + y^{2}}}^{2} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Étape 3.1.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 {\sqrt{- 28 + y^{2}}}^{2} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Étape 3.1.2.1.1.3

Multipliez ${\sqrt{- 28 + y^{2}}}^{2}$ par $1$ .

${\sqrt{- 28 + y^{2}}}^{2} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Étape 3.1.2.1.1.4

Réécrivez ${\sqrt{- 28 + y^{2}}}^{2}$ comme $- 28 + y^{2}$ .

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Étape 3.1.2.1.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{- 28 + y^{2}}$ comme ${(- 28 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- 28 + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Étape 3.1.2.1.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 28 + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Étape 3.1.2.1.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

${(- 28 + y^{2})}^{\frac{2}{2}} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Étape 3.1.2.1.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.1.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

${(- 28 + y^{2})}^{\frac{2}{2}} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Étape 3.1.2.1.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$(- 28 + y^{2}) + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$(- 28 + y^{2}) + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Étape 3.1.2.1.1.4.5

Simplifiez

$- 28 + y^{2} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$- 28 + y^{2} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Étape 3.1.2.1.1.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 28 + y^{2} - 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$- 28 + y^{2} - 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Étape 3.1.2.1.2

Associez les termes opposés dans $- 28 + y^{2} - 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y - y^{2}$ .

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Étape 3.1.2.1.2.1

Soustrayez $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$- 28 - 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y + 0 = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Étape 3.1.2.1.2.2

Additionnez $- 28 - 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y$ et $0$ .

$- 28 - 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$- 28 - 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$- 28 - 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$- 28 - 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$- 28 - 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Étape 3.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$y = - 8$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $- 8$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$ par $- 8$ .

$x = - \sqrt{- 28 + {(- 8)}^{2}}$

$y = - 8$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Simplifiez $- \sqrt{- 28 + {(- 8)}^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$x = - \sqrt{- 28 + 64}$

$y = - 8$

Étape 3.3.2.1.2

Additionnez $- 28$ et $64$ .

$x = - \sqrt{36}$

$y = - 8$

Étape 3.3.2.1.3

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$x = - \sqrt{6^{2}}$

$y = - 8$

Étape 3.3.2.1.4

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.4.1

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = - 1 \cdot 6$

$y = - 8$

Étape 3.3.2.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$x = - 6$

$y = - 8$

$x = - 6$

$y = - 8$

$x = - 6$

$y = - 8$

$x = - 6$

$y = - 8$

$x = - 6$

$y = - 8$

$x = - 6$

$y = - 8$

Étape 4

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(6, 8)$

$(- 6, - 8)$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme du point :

$(6, 8), (6, 8), (- 6, - 8), (- 6, - 8)$

Forme de l’équation :

$x = 6, y = 8$

$x = - 6, y = - 8$

Étape 6