Pré-calcul Exemples

$x + y + 1 = 0$ , $x^{2} + y^{2} + 6 y - x = - 5$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x + 1 = - y$

$x^{2} + y^{2} + 6 y - x = - 5$

Étape 1.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - y - 1$

$x^{2} + y^{2} + 6 y - x = - 5$

$x = - y - 1$

$x^{2} + y^{2} + 6 y - x = - 5$

Étape 2

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $- y - 1$ dans chaque équation.

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Étape 2.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $x^{2} + y^{2} + 6 y - x = - 5$ par $- y - 1$ .

${(- y - 1)}^{2} + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${(- y - 1)}^{2} + y^{2} + 6 y - (- y - 1)$ .

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.1

Réécrivez ${(- y - 1)}^{2}$ comme $(- y - 1) (- y - 1)$ .

$(- y - 1) (- y - 1) + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

Étape 2.2.1.1.2

Développez $(- y - 1) (- y - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- y (- y - 1) - 1 (- y - 1) + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

Étape 2.2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- y (- y) - y \cdot - 1 - 1 (- y - 1) + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

Étape 2.2.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- y (- y) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

$- y (- y) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

Étape 2.2.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 1 \cdot (- 1 y \cdot y) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

Étape 2.2.1.1.3.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.1.3.1.2.1

Déplacez $y$ .

$- 1 \cdot (- 1 (y \cdot y)) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

Étape 2.2.1.1.3.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$- 1 \cdot (- 1 y^{2}) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

$- 1 \cdot (- 1 y^{2}) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

Étape 2.2.1.1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

Étape 2.2.1.1.3.1.4

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

Étape 2.2.1.1.3.1.5

Multipliez $- y \cdot - 1$ .

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Étape 2.2.1.1.3.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y^{2} + 1 y - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

Étape 2.2.1.1.3.1.5.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y^{2} + y - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

$y^{2} + y - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

Étape 2.2.1.1.3.1.6

Multipliez $- 1 (- y)$ .

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Étape 2.2.1.1.3.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y^{2} + y + 1 y - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

Étape 2.2.1.1.3.1.6.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y^{2} + y + y - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

$y^{2} + y + y - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

Étape 2.2.1.1.3.1.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y^{2} + y + y + 1 + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

$y^{2} + y + y + 1 + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

Étape 2.2.1.1.3.2

Additionnez $y$ et $y$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

Étape 2.2.1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} + 6 y + y + 1 = - 5$

$x = - y - 1$

Étape 2.2.1.1.5

Multipliez $- - y$ .

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Étape 2.2.1.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} + 6 y + 1 y + 1 = - 5$

$x = - y - 1$

Étape 2.2.1.1.5.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} + 6 y + y + 1 = - 5$

$x = - y - 1$

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} + 6 y + y + 1 = - 5$

$x = - y - 1$

Étape 2.2.1.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} + 6 y + y + 1 = - 5$

$x = - y - 1$

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} + 6 y + y + 1 = - 5$

$x = - y - 1$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1.2.1

Additionnez $y^{2}$ et $y^{2}$ .

$2 y^{2} + 2 y + 1 + 6 y + y + 1 = - 5$

$x = - y - 1$

Étape 2.2.1.2.2

Additionnez $2 y$ et $6 y$ .

$2 y^{2} + 8 y + 1 + y + 1 = - 5$

$x = - y - 1$

Étape 2.2.1.2.3

Additionnez $8 y$ et $y$ .

$2 y^{2} + 9 y + 1 + 1 = - 5$

$x = - y - 1$

Étape 2.2.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 y^{2} + 9 y + 2 = - 5$

$x = - y - 1$

$2 y^{2} + 9 y + 2 = - 5$

$x = - y - 1$

$2 y^{2} + 9 y + 2 = - 5$

$x = - y - 1$

$2 y^{2} + 9 y + 2 = - 5$

$x = - y - 1$

$2 y^{2} + 9 y + 2 = - 5$

$x = - y - 1$

Étape 3

Résolvez $y$ dans $2 y^{2} + 9 y + 2 = - 5$ .

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Étape 3.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y^{2} + 9 y + 2 + 5 = 0$

$x = - y - 1$

Étape 3.2

Additionnez $2$ et $5$ .

$2 y^{2} + 9 y + 7 = 0$

$x = - y - 1$

Étape 3.3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 7 = 14$ et dont la somme est $b = 9$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $9$ à partir de $9 y$ .

$2 y^{2} + 9 (y) + 7 = 0$

$x = - y - 1$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez $9$ comme $2$ plus $7$

$2 y^{2} + (2 + 7) y + 7 = 0$

$x = - y - 1$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 y^{2} + 2 y + 7 y + 7 = 0$

$x = - y - 1$

$2 y^{2} + 2 y + 7 y + 7 = 0$

$x = - y - 1$

Étape 3.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 y^{2} + 2 y) + 7 y + 7 = 0$

$x = - y - 1$

Étape 3.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 y (y + 1) + 7 (y + 1) = 0$

$x = - y - 1$

$2 y (y + 1) + 7 (y + 1) = 0$

$x = - y - 1$

Étape 3.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $y + 1$ .

$(y + 1) (2 y + 7) = 0$

$x = - y - 1$

$(y + 1) (2 y + 7) = 0$

$x = - y - 1$

Étape 3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y + 1 = 0$

$2 y + 7 = 0$

$x = - y - 1$

Étape 3.5

Définissez $y + 1$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $y + 1$ égal à $0$ .

$y + 1 = 0$

$x = - y - 1$

Étape 3.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 1$

$x = - y - 1$

$y = - 1$

$x = - y - 1$

Étape 3.6

Définissez $2 y + 7$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $2 y + 7$ égal à $0$ .

$2 y + 7 = 0$

$x = - y - 1$

Étape 3.6.2

Résolvez $2 y + 7 = 0$ pour $y$ .

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Étape 3.6.2.1

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$2 y = - 7$

$x = - y - 1$

Étape 3.6.2.2

Divisez chaque terme dans $2 y = - 7$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 y = - 7$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 7}{2}$

$x = - y - 1$

Étape 3.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 7}{2}$

$x = - y - 1$

Étape 3.6.2.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 7}{2}$

$x = - y - 1$

$y = \frac{- 7}{2}$

$x = - y - 1$

$y = \frac{- 7}{2}$

$x = - y - 1$

Étape 3.6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.6.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{7}{2}$

$x = - y - 1$

$y = - \frac{7}{2}$

$x = - y - 1$

$y = - \frac{7}{2}$

$x = - y - 1$

$y = - \frac{7}{2}$

$x = - y - 1$

$y = - \frac{7}{2}$

$x = - y - 1$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(y + 1) (2 y + 7) = 0$ vraie.

$y = - 1, - \frac{7}{2}$

$x = - y - 1$

$y = - 1, - \frac{7}{2}$

$x = - y - 1$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $- 1$ dans chaque équation.

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Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = - y - 1$ par $- 1$ .

$x = - (- 1) - 1$

$y = - 1$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $- (- 1) - 1$ .

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1 - 1$

$y = - 1$

Étape 4.2.1.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$x = 0$

$y = - 1$

$x = 0$

$y = - 1$

$x = 0$

$y = - 1$

$x = 0$

$y = - 1$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $- \frac{7}{2}$ dans chaque équation.

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Étape 5.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = - y - 1$ par $- \frac{7}{2}$ .

$x = - (- \frac{7}{2}) - 1$

$y = - \frac{7}{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $- (- \frac{7}{2}) - 1$ .

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $- (- \frac{7}{2})$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1 (\frac{7}{2}) - 1$

$y = - \frac{7}{2}$

Étape 5.2.1.1.2

Multipliez $\frac{7}{2}$ par $1$ .

$x = \frac{7}{2} - 1$

$y = - \frac{7}{2}$

$x = \frac{7}{2} - 1$

$y = - \frac{7}{2}$

Étape 5.2.1.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

$y = - \frac{7}{2}$

Étape 5.2.1.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

$y = - \frac{7}{2}$

Étape 5.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{7 - 1 \cdot 2}{2}$

$y = - \frac{7}{2}$

Étape 5.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x = \frac{7 - 2}{2}$

$y = - \frac{7}{2}$

Étape 5.2.1.5.2

Soustrayez $2$ de $7$ .

$x = \frac{5}{2}$

$y = - \frac{7}{2}$

$x = \frac{5}{2}$

$y = - \frac{7}{2}$

$x = \frac{5}{2}$

$y = - \frac{7}{2}$

$x = \frac{5}{2}$

$y = - \frac{7}{2}$

$x = \frac{5}{2}$

$y = - \frac{7}{2}$

Étape 6

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(0, - 1)$

$(\frac{5}{2}, - \frac{7}{2})$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme du point :

$(0, - 1), (\frac{5}{2}, - \frac{7}{2})$

Forme de l’équation :

$x = 0, y = - 1$

$x = \frac{5}{2}, y = - \frac{7}{2}$

Étape 8