Pré-calcul Exemples

$y = \sqrt{144 - x^{2}}$ , $y = 16 - x$

Étape 1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$\sqrt{144 - x^{2}} = 16 - x$

Étape 2

Résolvez $\sqrt{144 - x^{2}} = 16 - x$ pour $x$ .

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Étape 2.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{144 - x^{2}}}^{2} = {(16 - x)}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{144 - x^{2}}$ comme ${(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(16 - x)}^{2}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez ${({(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(16 - x)}^{2}$

Étape 2.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(16 - x)}^{2}$

Étape 2.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(144 - x^{2})}^{1} = {(16 - x)}^{2}$

Étape 2.2.2.1.2

Simplifiez

$144 - x^{2} = {(16 - x)}^{2}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Simplifiez ${(16 - x)}^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1.1

Réécrivez ${(16 - x)}^{2}$ comme $(16 - x) (16 - x)$ .

$144 - x^{2} = (16 - x) (16 - x)$

Étape 2.2.3.1.2

Développez $(16 - x) (16 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$144 - x^{2} = 16 (16 - x) - x (16 - x)$

Étape 2.2.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$144 - x^{2} = 16 \cdot 16 + 16 (- x) - x (16 - x)$

Étape 2.2.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$144 - x^{2} = 16 \cdot 16 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)$

Étape 2.2.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.3.1.3.1.1

Multipliez $16$ par $16$ .

$144 - x^{2} = 256 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)$

Étape 2.2.3.1.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - x \cdot 16 - x (- x)$

Étape 2.2.3.1.3.1.3

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x - x (- x)$

Étape 2.2.3.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Étape 2.2.3.1.3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.3.1.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Étape 2.2.3.1.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Étape 2.2.3.1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x + 1 x^{2}$

Étape 2.2.3.1.3.1.7

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x + x^{2}$

Étape 2.2.3.1.3.2

Soustrayez $16 x$ de $- 16 x$ .

$144 - x^{2} = 256 - 32 x + x^{2}$

Étape 2.3

Résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$256 - 32 x + x^{2} = 144 - x^{2}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$256 - 32 x + x^{2} + x^{2} = 144$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$256 - 32 x + 2 x^{2} = 144$

Étape 2.3.3

Soustrayez $144$ des deux côtés de l’équation.

$256 - 32 x + 2 x^{2} - 144 = 0$

Étape 2.3.4

Soustrayez $144$ de $256$ .

$- 32 x + 2 x^{2} + 112 = 0$

Étape 2.3.5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 32 x + 2 x^{2} + 112$ .

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Étape 2.3.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 32 x$ .

$2 (- 16 x) + 2 x^{2} + 112 = 0$

Étape 2.3.5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$2 (- 16 x) + 2 (x^{2}) + 112 = 0$

Étape 2.3.5.1.3

Factorisez $2$ à partir de $112$ .

$2 (- 16 x) + 2 x^{2} + 2 \cdot 56 = 0$

Étape 2.3.5.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 16 x) + 2 x^{2}$ .

$2 (- 16 x + x^{2}) + 2 \cdot 56 = 0$

Étape 2.3.5.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 16 x + x^{2}) + 2 \cdot 56$ .

$2 (- 16 x + x^{2} + 56) = 0$

Étape 2.3.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 (x^{2} - 16 x + 56) = 0$

Étape 2.3.6

Divisez chaque terme dans $2 (x^{2} - 16 x + 56) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.6.1

Divisez chaque terme dans $2 (x^{2} - 16 x + 56) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16 x + 56)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.6.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x^{2} - 16 x + 56)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.6.2.1.2

Divisez $x^{2} - 16 x + 56$ par $1$ .

$x^{2} - 16 x + 56 = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.6.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x^{2} - 16 x + 56 = 0$

Étape 2.3.7

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 16 - x$

Étape 2.3.8

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 16$ et $c = 56$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 56)}}{2 \cdot 1} + y = 16 - x$

Étape 2.3.9

Simplifiez

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Étape 2.3.9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.9.1.1

Élevez $- 16$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.9.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 56$ .

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Étape 2.3.9.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.9.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $56$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 224}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.9.1.3

Soustrayez $224$ de $256$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.9.1.4

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.3.9.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.9.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.9.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.9.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.3.9.3

Simplifiez $\frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 8 \pm 2 \sqrt{2}$

Étape 2.3.10

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.3.10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.10.1.1

Élevez $- 16$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.10.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 56$ .

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Étape 2.3.10.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.10.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $56$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 224}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.10.1.3

Soustrayez $224$ de $256$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.10.1.4

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.3.10.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.10.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.10.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.10.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.3.10.3

Simplifiez $\frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 8 \pm 2 \sqrt{2}$

Étape 2.3.10.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 8 + 2 \sqrt{2}$

Étape 2.3.11

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.3.11.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.11.1.1

Élevez $- 16$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.11.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 56$ .

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Étape 2.3.11.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.11.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $56$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 224}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.11.1.3

Soustrayez $224$ de $256$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.11.1.4

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.3.11.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.11.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.11.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.11.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.3.11.3

Simplifiez $\frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 8 \pm 2 \sqrt{2}$

Étape 2.3.11.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 8 - 2 \sqrt{2}$

Étape 2.3.12

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 8 + 2 \sqrt{2}, 8 - 2 \sqrt{2}$

Étape 3

Évaluez $y$ quand $x = 8 + 2 \sqrt{2}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $x$ par $8 + 2 \sqrt{2}$ .

$y = 16 - (8 + 2 \sqrt{2})$

Étape 3.2

Simplifiez $16 - (8 + 2 \sqrt{2})$ .

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 16 - 1 \cdot 8 - (2 \sqrt{2})$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$y = 16 - 8 - (2 \sqrt{2})$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = 16 - 8 - 2 \sqrt{2}$

Étape 3.2.2

Soustrayez $8$ de $16$ .

$y = 8 - 2 \sqrt{2}$

Étape 4

Évaluez $y$ quand $x = 8 - 2 \sqrt{2}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $x$ par $8 - 2 \sqrt{2}$ .

$y = 16 - (8 - 2 \sqrt{2})$

Étape 4.2

Simplifiez $16 - (8 - 2 \sqrt{2})$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 16 - 1 \cdot 8 - (- 2 \sqrt{2})$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$y = 16 - 8 - (- 2 \sqrt{2})$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y = 16 - 8 + 2 \sqrt{2}$

Étape 4.2.2

Soustrayez $8$ de $16$ .

$y = 8 + 2 \sqrt{2}$

Étape 5

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(8 + 2 \sqrt{2}, 8 - 2 \sqrt{2})$

$(8 - 2 \sqrt{2}, 8 + 2 \sqrt{2})$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme du point :

$(8 + 2 \sqrt{2}, 8 - 2 \sqrt{2}), (8 - 2 \sqrt{2}, 8 + 2 \sqrt{2})$

Forme de l’équation :

$x = 8 + 2 \sqrt{2}, y = 8 - 2 \sqrt{2}$

$x = 8 - 2 \sqrt{2}, y = 8 + 2 \sqrt{2}$

Étape 7