Pré-calcul Exemples

$x^{2} + y^{2} = 9$ , $y = x^{2} - 3$

Étape 1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $x^{2} - 3$ dans chaque équation.

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Étape 1.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x^{2} + y^{2} = 9$ par $x^{2} - 3$ .

$x^{2} + {(x^{2} - 3)}^{2} = 9$

$y = x^{2} - 3$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Simplifiez $x^{2} + {(x^{2} - 3)}^{2}$ .

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Étape 1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.1

Réécrivez ${(x^{2} - 3)}^{2}$ comme $(x^{2} - 3) (x^{2} - 3)$ .

$x^{2} + (x^{2} - 3) (x^{2} - 3) = 9$

$y = x^{2} - 3$

Étape 1.2.1.1.2

Développez $(x^{2} - 3) (x^{2} - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + x^{2} (x^{2} - 3) - 3 (x^{2} - 3) = 9$

$y = x^{2} - 3$

Étape 1.2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 3 - 3 (x^{2} - 3) = 9$

$y = x^{2} - 3$

Étape 1.2.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 3 - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 3 - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3 = 9$

$y = x^{2} - 3$

Étape 1.2.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1.1.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2} + x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 3 - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3 = 9$

$y = x^{2} - 3$

Étape 1.2.1.1.3.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$x^{2} + x^{4} + x^{2} \cdot - 3 - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{2} + x^{4} + x^{2} \cdot - 3 - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3 = 9$

$y = x^{2} - 3$

Étape 1.2.1.1.3.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x^{2}$ .

$x^{2} + x^{4} - 3 \cdot x^{2} - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3 = 9$

$y = x^{2} - 3$

Étape 1.2.1.1.3.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$x^{2} + x^{4} - 3 x^{2} - 3 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{2} + x^{4} - 3 x^{2} - 3 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

Étape 1.2.1.1.3.2

Soustrayez $3 x^{2}$ de $- 3 x^{2}$ .

$x^{2} + x^{4} - 6 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{2} + x^{4} - 6 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{2} + x^{4} - 6 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

Étape 1.2.1.2

Soustrayez $6 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$x^{4} - 5 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{4} - 5 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{4} - 5 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{4} - 5 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

Étape 2

Résolvez $x$ dans $x^{4} - 5 x^{2} + 9 = 9$ .

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Étape 2.1

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$u^{2} - 5 u + 9 = 9$

$u = x^{2}$

$y = x^{2} - 3$

Étape 2.2

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$u^{2} - 5 u + 9 - 9 = 0$

$y = x^{2} - 3$

Étape 2.3

Associez les termes opposés dans $u^{2} - 5 u + 9 - 9$ .

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Étape 2.3.1

Soustrayez $9$ de $9$ .

$u^{2} - 5 u + 0 = 0$

$y = x^{2} - 3$

Étape 2.3.2

Additionnez $u^{2} - 5 u$ et $0$ .

$u^{2} - 5 u = 0$

$y = x^{2} - 3$

$u^{2} - 5 u = 0$

$y = x^{2} - 3$

Étape 2.4

Factorisez $u$ à partir de $u^{2} - 5 u$ .

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Étape 2.4.1

Factorisez $u$ à partir de $u^{2}$ .

$u \cdot u - 5 u = 0$

$y = x^{2} - 3$

Étape 2.4.2

Factorisez $u$ à partir de $- 5 u$ .

$u \cdot u + u \cdot - 5 = 0$

$y = x^{2} - 3$

Étape 2.4.3

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot u + u \cdot - 5$ .

$u (u - 5) = 0$

$y = x^{2} - 3$

$u (u - 5) = 0$

$y = x^{2} - 3$

Étape 2.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u = 0$

$u - 5 = 0$

$y = x^{2} - 3$

Étape 2.6

Définissez $u$ égal à $0$ .

$u = 0$

$y = x^{2} - 3$

Étape 2.7

Définissez $u - 5$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 2.7.1

Définissez $u - 5$ égal à $0$ .

$u - 5 = 0$

$y = x^{2} - 3$

Étape 2.7.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 5$

$y = x^{2} - 3$

$u = 5$

$y = x^{2} - 3$

Étape 2.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $u (u - 5) = 0$ vraie.

$u = 0, 5$

$y = x^{2} - 3$

Étape 2.9

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = 0$

$x^{2} = 5$

$y = x^{2} - 3$

Étape 2.10

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = 0$

$y = x^{2} - 3$

Étape 2.11

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

$y = x^{2} - 3$

Étape 2.11.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.11.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

$y = x^{2} - 3$

Étape 2.11.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

$y = x^{2} - 3$

Étape 2.11.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

$y = x^{2} - 3$

$x = 0$

$y = x^{2} - 3$

$x = 0$

$y = x^{2} - 3$

Étape 2.12

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

$x^{2} = 5$

$y = x^{2} - 3$

Étape 2.13

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.13.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = 5$

$y = x^{2} - 3$

Étape 2.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

Étape 2.13.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.13.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

Étape 2.13.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

Étape 2.13.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

Étape 2.14

La solution à $x^{4} - 5 x^{2} + 9 = 9$ est $x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$ .

$x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

$x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

Étape 3

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $0$ dans chaque équation.

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Étape 3.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = x^{2} - 3$ par $0$ .

$y = {(0)}^{2} - 3$

$x = 0$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${(0)}^{2} - 3$ .

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Étape 3.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 3$

$x = 0$

Étape 3.2.1.2

Soustrayez $3$ de $0$ .

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $\sqrt{5}$ dans chaque équation.

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Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = x^{2} - 3$ par $\sqrt{5}$ .

$y = {(\sqrt{5})}^{2} - 3$

$x = \sqrt{5}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Simplifiez ${(\sqrt{5})}^{2} - 3$ .

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Étape 4.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3$

$x = \sqrt{5}$

Étape 4.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3$

$x = \sqrt{5}$

Étape 4.2.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = 5^{\frac{2}{2}} - 3$

$x = \sqrt{5}$

Étape 4.2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = 5^{\frac{2}{2}} - 3$

$x = \sqrt{5}$

Étape 4.2.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

Étape 4.2.1.1.5

Évaluez l’exposant.

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

Étape 4.2.1.2

Soustrayez $3$ de $5$ .

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $0$ dans chaque équation.

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Étape 5.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = x^{2} - 3$ par $0$ .

$y = {(0)}^{2} - 3$

$x = 0$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez ${(0)}^{2} - 3$ .

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Étape 5.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 3$

$x = 0$

Étape 5.2.1.2

Soustrayez $3$ de $0$ .

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $\sqrt{5}$ dans chaque équation.

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Étape 6.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = x^{2} - 3$ par $\sqrt{5}$ .

$y = {(\sqrt{5})}^{2} - 3$

$x = \sqrt{5}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.1

Simplifiez ${(\sqrt{5})}^{2} - 3$ .

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Étape 6.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 6.2.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3$

$x = \sqrt{5}$

Étape 6.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3$

$x = \sqrt{5}$

Étape 6.2.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = 5^{\frac{2}{2}} - 3$

$x = \sqrt{5}$

Étape 6.2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = 5^{\frac{2}{2}} - 3$

$x = \sqrt{5}$

Étape 6.2.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

Étape 6.2.1.1.5

Évaluez l’exposant.

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

Étape 6.2.1.2

Soustrayez $3$ de $5$ .

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $- \sqrt{5}$ dans chaque équation.

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Étape 7.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = x^{2} - 3$ par $- \sqrt{5}$ .

$y = {(- \sqrt{5})}^{2} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.1

Simplifiez ${(- \sqrt{5})}^{2} - 3$ .

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Étape 7.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{5}$ .

$y = {(- 1)}^{2} {\sqrt{5}}^{2} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

Étape 7.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y = 1 {\sqrt{5}}^{2} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

Étape 7.2.1.1.3

Multipliez ${\sqrt{5}}^{2}$ par $1$ .

$y = {\sqrt{5}}^{2} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

Étape 7.2.1.1.4

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 7.2.1.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

Étape 7.2.1.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

Étape 7.2.1.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = 5^{\frac{2}{2}} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

Étape 7.2.1.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = 5^{\frac{2}{2}} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

Étape 7.2.1.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = 5 - 3$

$x = - \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = - \sqrt{5}$

Étape 7.2.1.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$y = 5 - 3$

$x = - \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = - \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = - \sqrt{5}$

Étape 7.2.1.2

Soustrayez $3$ de $5$ .

$y = 2$

$x = - \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = - \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = - \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = - \sqrt{5}$

Étape 8

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(0, - 3)$

$(\sqrt{5}, 2)$

$(- \sqrt{5}, 2)$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme du point :

$(0, - 3), (\sqrt{5}, 2), (- \sqrt{5}, 2)$

Forme de l’équation :

$x = 0, y = - 3$

$x = \sqrt{5}, y = 2$

$x = - \sqrt{5}, y = 2$

Étape 10