Pré-calcul Exemples

$x^{2} + y^{2} = 8$ , $x y = 4$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $x y = 4$ par $y$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x y = 4$ par $y$ .

$\frac{x y}{y} = \frac{4}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y}{y} = \frac{4}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

Étape 1.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{4}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

Étape 2

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $\frac{4}{y}$ dans chaque équation.

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Étape 2.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $x^{2} + y^{2} = 8$ par $\frac{4}{y}$ .

${(\frac{4}{y})}^{2} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{y}$ .

$\frac{4^{2}}{y^{2}} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

Étape 2.2.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{16}{y^{2}} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

$\frac{16}{y^{2}} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

$\frac{16}{y^{2}} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

$\frac{16}{y^{2}} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

Étape 3

Résolvez $y$ dans $\frac{16}{y^{2}} + y^{2} = 8$ .

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Étape 3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y^{2}, 1, 1$

$x = \frac{4}{y}$

Étape 3.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

$y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{16}{y^{2}} + y^{2} = 8$ par $y^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{16}{y^{2}} + y^{2} = 8$ par $y^{2}$ .

$\frac{16}{y^{2}} \cdot y^{2} + y^{2} y^{2} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 3.2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{16}{y^{2}} \cdot y^{2} + y^{2} y^{2} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

Étape 3.2.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$16 + y^{2} y^{2} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

$16 + y^{2} y^{2} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $y^{2}$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.2.1.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$16 + y^{2 + 2} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

Étape 3.2.2.1.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$16 + y^{4} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

$16 + y^{4} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

$16 + y^{4} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

$16 + y^{4} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

$16 + y^{4} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

Étape 3.3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.3.1

Soustrayez $8 y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$16 + y^{4} - 8 y^{2} = 0$

$x = \frac{4}{y}$

Étape 3.3.2

Remplacez $u = y^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$u^{2} - 8 u + 16 = 0$

$u = y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

Étape 3.3.3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.3.3.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$u^{2} - 8 u + 4^{2} = 0$

$x = \frac{4}{y}$

Étape 3.3.3.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

$x = \frac{4}{y}$

Étape 3.3.3.3

Réécrivez le polynôme.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2} = 0$

$x = \frac{4}{y}$

Étape 3.3.3.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 4$ .

${(u - 4)}^{2} = 0$

$x = \frac{4}{y}$

${(u - 4)}^{2} = 0$

$x = \frac{4}{y}$

Étape 3.3.4

Définissez le $u - 4$ égal à $0$ .

$u - 4 = 0$

$x = \frac{4}{y}$

Étape 3.3.5

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 4$

$x = \frac{4}{y}$

Étape 3.3.6

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = y^{2}$ dans l’équation résolue.

$y^{2} = 4$

$x = \frac{4}{y}$

Étape 3.3.7

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 3.3.7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{4}$

$x = \frac{4}{y}$

Étape 3.3.7.2

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 3.3.7.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2}}$

$x = \frac{4}{y}$

Étape 3.3.7.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = \pm 2$

$x = \frac{4}{y}$

$y = \pm 2$

$x = \frac{4}{y}$

Étape 3.3.7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.3.7.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = 2$

$x = \frac{4}{y}$

Étape 3.3.7.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - 2$

$x = \frac{4}{y}$

Étape 3.3.7.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = 2, - 2$

$x = \frac{4}{y}$

$y = 2, - 2$

$x = \frac{4}{y}$

$y = 2, - 2$

$x = \frac{4}{y}$

$y = 2, - 2$

$x = \frac{4}{y}$

$y = 2, - 2$

$x = \frac{4}{y}$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $2$ dans chaque équation.

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Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = \frac{4}{y}$ par $2$ .

$x = \frac{4}{2}$

$y = 2$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Divisez $4$ par $2$ .

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $- 2$ dans chaque équation.

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Étape 5.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = \frac{4}{y}$ par $- 2$ .

$x = \frac{4}{- 2}$

$y = - 2$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Divisez $4$ par $- 2$ .

$x = - 2$

$y = - 2$

$x = - 2$

$y = - 2$

$x = - 2$

$y = - 2$

Étape 6

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(2, 2)$

$(- 2, - 2)$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme du point :

$(2, 2), (- 2, - 2)$

Forme de l’équation :

$x = 2, y = 2$

$x = - 2, y = - 2$

Étape 8