Pré-calcul Exemples

$x^{2} + y^{2} = 8$ , $y^{2} = 2 x$

Étape 1

Résolvez $y$ dans $y^{2} = 2 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{2 x}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

Étape 1.2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{2 x}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

Étape 1.2.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

Étape 1.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{2 x}$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

Étape 2

Résolvez le système $y = \sqrt{2 x}, x^{2} + y^{2} = 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $\sqrt{2 x}$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x^{2} + y^{2} = 8$ par $\sqrt{2 x}$ .

$x^{2} + {(\sqrt{2 x})}^{2} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Réécrivez ${\sqrt{2 x}}^{2}$ comme $2 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x}$ comme ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} + {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

Étape 2.1.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

Étape 2.1.2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x^{2} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

Étape 2.1.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

Étape 2.1.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

Étape 2.1.2.1.5

Simplifiez

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

Étape 2.2

Résolvez $x$ dans $x^{2} + 2 x = 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 2 x - 8 = 0$

$y = \sqrt{2 x}$

Étape 2.2.2

Factorisez $x^{2} + 2 x - 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $2$ .

$- 2, 4$

$y = \sqrt{2 x}$

Étape 2.2.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 2) (x + 4) = 0$

$y = \sqrt{2 x}$

$(x - 2) (x + 4) = 0$

$y = \sqrt{2 x}$

Étape 2.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

$y = \sqrt{2 x}$

Étape 2.2.4

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.4.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

$y = \sqrt{2 x}$

Étape 2.2.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

$y = \sqrt{2 x}$

$x = 2$

$y = \sqrt{2 x}$

Étape 2.2.5

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

$y = \sqrt{2 x}$

Étape 2.2.5.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

$y = \sqrt{2 x}$

$x = - 4$

$y = \sqrt{2 x}$

Étape 2.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 2) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 2, - 4$

$y = \sqrt{2 x}$

$x = 2, - 4$

$y = \sqrt{2 x}$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $2$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = \sqrt{2 x}$ par $2$ .

$y = \sqrt{2 (2)}$

$x = 2$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez $\sqrt{2 (2)}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \sqrt{4}$

$x = 2$

Étape 2.3.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \sqrt{2^{2}}$

$x = 2$

Étape 2.3.2.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

Étape 2.4

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $- 4$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = \sqrt{2 x}$ par $- 4$ .

$y = \sqrt{2 (- 4)}$

$x = - 4$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez $\sqrt{2 (- 4)}$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$y = \sqrt{- 8}$

$x = - 4$

Étape 2.4.2.1.2

Réécrivez $- 8$ comme $- 1 (8)$ .

$y = \sqrt{- 1 \cdot 8}$

$x = - 4$

Étape 2.4.2.1.3

Réécrivez $\sqrt{- 1 (8)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$y = \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$

$x = - 4$

Étape 2.4.2.1.4

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = i \cdot \sqrt{8}$

$x = - 4$

Étape 2.4.2.1.5

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = i \cdot \sqrt{4 (2)}$

$x = - 4$

Étape 2.4.2.1.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

$x = - 4$

$y = i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

$x = - 4$

Étape 2.4.2.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = i \cdot (2 \sqrt{2})$

$x = - 4$

Étape 2.4.2.1.7

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$y = 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

Étape 3

Résolvez le système $y = - \sqrt{2 x}, x^{2} + y^{2} = 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $- \sqrt{2 x}$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x^{2} + y^{2} = 8$ par $- \sqrt{2 x}$ .

$x^{2} + {(- \sqrt{2 x})}^{2} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{2 x}$ .

$x^{2} + {(- 1)}^{2} {\sqrt{2 x}}^{2} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

Étape 3.1.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x^{2} + 1 {\sqrt{2 x}}^{2} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

Étape 3.1.2.1.3

Multipliez ${\sqrt{2 x}}^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + {\sqrt{2 x}}^{2} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

Étape 3.1.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{2 x}}^{2}$ comme $2 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x}$ comme ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} + {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

Étape 3.1.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

Étape 3.1.2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x^{2} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

Étape 3.1.2.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

Étape 3.1.2.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

Étape 3.1.2.1.4.5

Simplifiez

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

Étape 3.2

Résolvez $x$ dans $x^{2} + 2 x = 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 2 x - 8 = 0$

$y = - \sqrt{2 x}$

Étape 3.2.2

Factorisez $x^{2} + 2 x - 8$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $2$ .

$- 2, 4$

$y = - \sqrt{2 x}$

Étape 3.2.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 2) (x + 4) = 0$

$y = - \sqrt{2 x}$

$(x - 2) (x + 4) = 0$

$y = - \sqrt{2 x}$

Étape 3.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

$y = - \sqrt{2 x}$

Étape 3.2.4

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

$y = - \sqrt{2 x}$

Étape 3.2.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x = 2$

$y = - \sqrt{2 x}$

Étape 3.2.5

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

$y = - \sqrt{2 x}$

Étape 3.2.5.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x = - 4$

$y = - \sqrt{2 x}$

Étape 3.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 2) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 2, - 4$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x = 2, - 4$

$y = - \sqrt{2 x}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $2$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = - \sqrt{2 x}$ par $2$ .

$y = - \sqrt{2 (2)}$

$x = 2$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Simplifiez $- \sqrt{2 (2)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = - \sqrt{4}$

$x = 2$

Étape 3.3.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = - \sqrt{2^{2}}$

$x = 2$

Étape 3.3.2.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = - 1 \cdot 2$

$x = 2$

Étape 3.3.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = - 2$

$x = 2$

$y = - 2$

$x = 2$

$y = - 2$

$x = 2$

$y = - 2$

$x = 2$

Étape 3.4

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $- 4$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = - \sqrt{2 x}$ par $- 4$ .

$y = - \sqrt{2 (- 4)}$

$x = - 4$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Simplifiez $- \sqrt{2 (- 4)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$y = - \sqrt{- 8}$

$x = - 4$

Étape 3.4.2.1.2

Réécrivez $- 8$ comme $- 1 (8)$ .

$y = - \sqrt{- 1 \cdot 8}$

$x = - 4$

Étape 3.4.2.1.3

Réécrivez $\sqrt{- 1 (8)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$y = - (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8})$

$x = - 4$

Étape 3.4.2.1.4

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = - (i \cdot \sqrt{8})$

$x = - 4$

Étape 3.4.2.1.5

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = - (i \cdot \sqrt{4 (2)})$

$x = - 4$

Étape 3.4.2.1.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = - (i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2})$

$x = - 4$

$y = - (i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2})$

$x = - 4$

Étape 3.4.2.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = - (i \cdot (2 \sqrt{2}))$

$x = - 4$

Étape 3.4.2.1.7

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.7.1

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$y = - (2 \cdot (i \sqrt{2}))$

$x = - 4$

Étape 3.4.2.1.7.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = - 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = - 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = - 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = - 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = - 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = - 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

Étape 4

Indiquez toutes les solutions.

$y = 2, x = 2$

$y = 2 i \sqrt{2}, x = - 4$

$y = - 2, x = 2$

$y = - 2 i \sqrt{2}, x = - 4$

Étape 5