Pré-calcul Exemples

$3 + 12 + 48 + 192 + 768$

Étape 1

C’est une séquence géométrique car il y a un rapport commun entre chaque terme. Dans ce cas, la multiplication du terme précédent dans la séquence par $4$ produit le terme suivant. En d’autres termes, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Séquence géométrique : $r = 4$

Étape 2

C’est la forme d’une séquence géométrique.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Étape 3

Remplacez les valeurs de $a_{1} = 3$ et $r = 4$ .

$a_{n} = 3 \cdot 4^{n - 1}$

Étape 4

Cette formule permet de déterminer la somme des $n$ premiers termes de la séquence géométrique. Pour l’évaluer, déterminez les valeurs de $r$ et $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Étape 5

Remplacez les variables par les valeurs connues pour déterminer $S_{5}$ .

$S_{5} = 3 \cdot \frac{{(4)}^{5} - 1}{4 - 1}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Élevez $4$ à la puissance $5$ .

$S_{5} = 3 \cdot \frac{1024 - 1}{4 - 1}$

Étape 6.2

Soustrayez $1$ de $1024$ .

$S_{5} = 3 \cdot \frac{1023}{4 - 1}$

Étape 7

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.1

Soustrayez $1$ de $4$ .

$S_{5} = 3 \cdot \frac{1023}{3}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun.

$S_{5} = 3 \cdot \frac{1023}{3}$

Étape 7.2.2

Réécrivez l’expression.

$S_{5} = 1023$

Étape 8

Convertissez la fraction en une décimale.

$S_{5} = 1023$